正比例函数(基础)知识讲解

正比例函数（基础）【学习目标】1.理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数ykx的图象；2.能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．【要点梳理】要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如ykx（k为常数，且k≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）、y是x的正比例函数；（2）、ykx（k为常数且k≠0）；（3）、若y与x成正比例；（4）、kxy（k为常数且k≠0）.要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数ykx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线ykx.当k＞0时，直线ykx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k＜0时，直线ykx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数ykx（k为常数，k≠0）中只有一个待定系数k，故只要有一对x，y的值或一个非原点的点，就可以求得k值.【典型例题】类型一、正比例函数的定义1、已知1(2)mymx，当m为何值时，y是x的正比例函数？【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)ykxk，要特别注意定义满足0k，x的指数为1．【答案与解析】解：由题意得，2011mm解得m＝2∴当m＝2时，y是x的一次函数.【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k不等于零；（2）x的指数是1.举一反三：【变式】如果函数23(2)mymx是正比例函数，那么m的值是________．【答案】解：由定义得220,31,mm解得2.2.mm∴m＝2．类型二、正比函数的图象和性质2、已知正比例函数ykxb的函数值随着x的增大而减小，则大致图象为（）A.B.C.D.【答案】D；【解析】因为是正比例函数，所以b＝0，图象必经过原点．【总结升华】了解正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小.3、若正比例函数22(21)mymx中，y随x的增大而增大，则m的值为________.【答案】1；【解析】由题意可得：210m，221m，∴m＝1．【总结升华】正比例函数ykx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．y随x的增大而增大，则k＞0．举一反三：【变式】关于函数y＝12x，下列结论正确的是（）A.函数图象必经过点（1，2）B．函数图象经过二、四象限C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【答案】D；提示：A、当x＝1时，y＝12，错误；B、因为k＞0，所以图象经过第一、三象限，错误；C、因为k＞0，所以y随x的增大而增大，C错误.4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1ykx、2ykx、3ykx、4ykx的图象分别为1l、2l、3l、4l，则下列关系中正确的是（）A．1k＜2k＜3k＜4kB．2k＜1k＜4k＜3kC．1k＜2k＜4k＜3kD．2k＜1k＜3k＜4k【答案】B；【解析】首先根据直线经过的象限，知：2k＜0，1k＜0，4k＞0，3k＞0，再根据直线越陡，|k|越大，知：2||k＞|1k|，|4k|＜|3k|．则2k＜1k＜4k＜3k【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.类型三、正比函数应用5、如图所示，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程s与时间t的函数关系，则他们行进的速度关系是（）．A．甲比乙快B．乙比甲快C．甲、乙同速D．不一定【思路点拨】观察图象，在t相同的情况下，有ss乙甲，故易判断甲乙的速度大小．【答案】A；【解析】由svt知，svt，观察图象，在t相同的情况下，有ss乙甲，故有ssvvtt甲乙乙甲．【总结升华】此问题中，l甲、l乙对应的解析式ykx中，k的绝对值越大，速度越快．举一反三：【变式】如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（）A.2.5米B.2米C.1.5米D.1米【答案】C；提示：从图中可以看出甲用了8秒钟跑了64米，速度是8米/秒，乙用了8秒钟跑了52米，速度是132米/秒，所以快者的速度比慢者的速度每秒快1.5米.