直线与圆的位置关系

4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程分别是什么？下面我们以太阳的起落为例.以蓝线为水平线,圆圈为太阳!注意观察!!1.理解直线与圆的位置的种类.（重点）2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.（重点、难点）3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.（难点）1.直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定【解析】选A.因为所以直线与圆相交.22|403040|d810r,43＜一、预习检测2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m为()A.0或2B.2C.D.无解【解析】选B.由圆心到直线的距离为半径得所以m=2，故选B.2mm2，一、预习检测3.已知P={(x，y)|x+y=2}，Q={(x，y)|x2+y2=2}，那么P∩Q为()A.⌀B.(1，1)C.{(1，1)}D.{(-1，-1)}【解析】选C.解方程组22x1,xy2,y1.xy2,得一、预习检测4.直线x=1与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是_______.【解析】因为圆心(-1，0)到直线x=1的距离d=21，所以直线x=1与圆(x+1)2+y2=1相离.答案：相离一、预习检测5.直线与圆相交，圆的半径为r，且直线到圆心的距离为5，则r与5的大小关系为________.【解析】因为直线与圆相交，所以dr，即5r.答案：r5一、预习检测1.直线和圆只有一个公共点,叫做直线和圆相切.2.直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交.3.直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.1.直线与圆的位置关系二、知识梳理．o圆心O到直线l的距离dl半径r1.直线l和⊙O相离,此时d与r大小关系为_________dr提示：l．o圆心O到直线l的距离d半径r2.直线l和⊙O相切,此时d与r大小关系为_________ld=r．o圆心O到直线l的距离d半径r3.直线l和⊙O相交,此时d与r大小关系为_________ldr1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：2.直线与圆的位置关系的判定方法drd=rdr直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交直线l：Ax+By+C=0，圆O：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)二、知识梳理2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断：2220()()设方程组消元所得一元二次方程的解的个数为AxByCxaybrn直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交n=0n=1n=2△0△=0△0二、知识梳理直线l:x=0与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相切B.相交不过圆心C.相交且过圆心D.相离【即时训练】C类型一：直线与圆位置关系的判断【典例1】求实数k的取值范围，使直线l：y=kx+2与圆M：x2+y2=1.(1)相离；(2)相切；(3)相交.三、例题讲解类型一：直线与圆位置关系的判断【典例1】求实数k的取值范围，使直线l：y=kx+2与圆M：x2+y2=1.(1)相离；(2)相切；(3)相交.三、例题讲解【解析】方法一(代数法)：将y=kx+2代入x2+y2=1，得(k2+1)x2+4kx+3=0，Δ=(4k)2-4(k2+1)×3=4(k2-3).(1)当l与圆M相离时，Δ0，即k2-30.所以k的范围为3k3.(2)当l与圆M相切时，Δ=0，即k2-3=0，即k=(3)当l与圆M相交时，Δ0，即k2-30.即3.k3k3.或方法二(几何法)：圆心M(0，0)到直线y-kx-2=0的距离d=当d1时，即1⇔k或k-⇔直线与圆相交；当d=1时，即=1⇔k=±⇔直线与圆相切；当d1时，即1⇔-k⇔直线与圆相离.22,1k221k33221k221k333【规律总结】直线与圆的位置关系判断的两种方法(1)几何法：①把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径；②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，并将此距离与圆的半径作比较；③作判断：当dr时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相交.(2)代数法：①把直线方程与圆的方程联立成方程组；②利用消元法，得到一元二次方程；③求出其Δ的值，比较Δ与0的大小，得出结论.类型二：圆的切线问题【典例2】求与直线y=x+2平行且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线的方程.三、例题讲解【解析】设直线的方程为y=x+m，即x-y+m=0.(x-2)2+(y-3)2=8的圆心坐标为(2，3)，半径为由得m=5或m=-3，所以直线的方程为y=x+5或y=x-3.23m22,222.【延伸探究】1.(变换条件)若将本例中条件“与直线y=x+2平行”换为“与直线y=x+2垂直”且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线的方程【解析】设所v为y=-x+m，即x+y-m=0，由得m=1或m=9，故切线方程为y=-x+1或y=-x+9.23m22,22.(变换条件)若将本例中条件“与直线y=x+2平行”换为“求过点P(5，1)”且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线的方程？【解析】设所求切线方程为y-1=k(x-5)即kx-y-5k+1=0.由得k=-6±2.故所求切线方程为(-6+2)x-y+31-10=0或(-6-2)x-y+31+10=0.22k35k122.k11010101010【变式练习】(2015·安徽高考)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或1B.2或-12C.-2或-12D.2或12D【规律总结】圆的切线方程的两种求解方法(1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量的值,此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意则直接写出切线方程.(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用Δ=0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出切线的方程.(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用Δ=0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出切线的方程.例3已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程.解：将圆的方程写成标准形式，得x2+(y+2)2=25,所以，圆心的坐标是（0，-2）,半径长r=5.如图，因为直线l被圆所截得的弦长是，所以弦心距为即圆心到所求直线l的距离为.三、例题讲解因为直线l过点M（-3，-3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离因此，即两边平方，并整理得到2k2-3k-2=0,解得k=，或k=2.所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为y+3=(x+3),或y+3=2(x+3).即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.小结：位置关系几何特征方程特征几何法代数法相交有两个公共点方程组有两个不同实根dr△0相切有且只有一公共点方程组有且只有一实根d=r△=0相离没有公共点方程组无实根dr△01.2.3.直线与圆相交，求弦长问题时，我们经常抓住半径、半弦、弦心距构成的直角三角形求解.注意数形结合思想、方程思想、运动变化观点的综合运用。直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为22||AaBbCdABdrd=rdrd与r2个1个0个交点个数图形相交相切相离位置rdrdrd则有以下关系：求圆心坐标及半径r（配方法）圆心到直线的距离d（点到直线距离公式）消去y判断直线和圆的位置关系几何方法代数方法拓展类型：与弦长有关的最值问题【典例】(1)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).①证明不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点.②求直线被圆C截得的弦长最短时l的方程.(2)已知直线l：kx-y-3k=0；圆M：x2+y2-8x-2y+9=0.①求证：直线l与圆M必相交；②当圆M截l所得弦最长时，求k的值.③当圆M截l所得弦最短时，求k的值.1.若直线x-y+a=0与圆x2+y2=a相切,则a等于()A.2或0B.C.2D.42C2.(2015·武威高一检测)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离B3.若直线3x+4y+c=0与圆(x+1)2+y2=4相切，则c的值为（）A．17或-23B．23或-17C．7或-13D．-7或13D4.（2016·北京高考）圆的圆心到直线的距离为（）A.1B.2C.D.C5.已知圆的方程为x2+y2=4,则经过点(2,0)的圆的切线方程是.【解析】显然点(2,0)在圆上,可求得过此点的圆的切线方程为x=2,即x-2=0.x-2=06.圆心在直线20xy上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长23，则圆C的标准方程为___________________.22214xy7.（2015·重庆高考）若点(1,2)P在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_________.【解析】点(1,2)P在以坐标原点为圆心的圆上，所以半径为5r圆的方程为225xy，在点P处的切线上任取一点(,)Qxy，则PQOP因为(1,2),(1,2)PQxyOP所以12(2)0PQOPxy，即250xy即该圆在点P处的切线方程为250xyx+2y-5=0【补偿训练】过点A(4，-3)，作圆C：(x-3)2+(y-1)2=1的切线，求此切线的方程.【解析】因为(4-3)2+(-3-1)2=171，所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以即|k+4|=所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-.2|3k134k|1,k12k1,158所以切线方程为y+3=-(x-4).即15x+8y-36=0.158(2)若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x=4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x=4.综上，所求切线方程是15x+8y-36=0或x=4.不要被不重要的人或事过多打扰，因为“成功的秘诀就是抓住目标不放”。