第三章数值积分

第三章数值积分在一元函数的积分学中，定积分()baIfxdx（3.1.1）的计算，主要是使用牛顿－莱布尼兹公式()()()bafxdxFbFa（3.1.2）虽然上述公式在理论和实践中起着重要作用，但它并不能完全解决积分的计算问题，在许多情况下，上述公式是无法适用的.常见的有下列几种情况：（1）被积函数)(xf的原函数)(xF不是初等函数，如xxsin，2xe等函数.（2）被积函数)(xf的具体表达式未知，只知道函数)(xf在某些点处的函数值.（3）)(xf的原函数虽然知道,但过于复杂，在实际应用中计算量较大，使用不便.针对以上几种情况，就要考虑使用数值方法进行近似求解.下面介绍几个计算定积分近似值的公式：矩形公式、梯形公式、辛普森(Simpson)公式、牛顿-柯特斯公式。由积分中值定理可知，对于定义在区间],[ba上的连续函数)(xf，总存在一个],[ba使得()()()bafxdxfba（3.1.3）由此受到启发，只要设法给出)(f的一个近似值，便可得到一个计算定积分近似值的方法.例如，用)(af或)(bf，)2(baf近似替代)(f，则可以分别得到矩形公式()()()bafxdxfaba（3.1.4）或()()()bafxdxfbba（3.1.5）或()()()2baabfxdxfba（3.1.6）进一步，若用)]()([21bfaf近似替代)(f，则可以得到下面梯形公式()[()()]2babafxdxfafb；（3.1.7）若用)]()2(4)([61bfbafaf近似替代)(f，则可以得到著名的辛普森(Simpson)公式()[()4()()]62babaabfxdxfaffb.（3.1.8）定理3.1若xf在ba,上连续，则梯形公式的余项为fabfR123ba,（3.2.5）定理3.2若xf4在ba,连续，则辛普森公式的余项为452901fabfRba,.（3.2.6）练习：分别用梯形公式、辛普森公式计算积分10dxex，并估计各种方法计算结果的误差.一般地，若用nkkkxfc0)(；（0kc，nkkc01）近似替代)(f，则得到定积分的近似计算公式0()()()nbkkakfxdxbacfx若令kkAabc)(，则有0()()nbkkakfxdxAfx.（3.1.9）（3.1.9）通常称为机械求积公式，其中kA一般为常数，称为求积系数.kx为积分区间],[ba上固定点，称为求积节点.对于一个确定的求积公式，计算所得的值与被积函数)(xf有关.为方便起见，用)(fI来表示公（3.1.9）式右端的值，即nkkkxfAfI0)()(显然，对于一个机械求积公式，通常需要考虑下列两个问题：（1）确定求积系数kA和求积节点kx，（2）讨论求积公式的误差.而对于不同的求积公式，如何判断哪一个数值效果更好呢？对于节点相同的求积公式，通常用代数精度的高低作为判定这些公式优劣的一个标准.一般说来，代数精度越高，求出的积分近似值精度越好.下面给出代数精度的定义定义4.1若数值积分公式0()()nbkkakfxdxAfx对任意不高于m次的代数多项式都准确地成立，而对于1mx却不能准确地成立，则称该数值积分公式的代数精度为m次.例4.1求积公式)]()2(4)([6)(bfbafafabfI具有3次代数精度.事实上，当1)(xf时，左端＝1badxba，而右端＝abab)141(6，所以左端＝右端；当xxf)(时，左端＝222babaxdx，而右端＝2)22(622abbbaaab，所以左端＝右端；当2)(xxf时，左端＝3323babaxdx，而右端＝3])([633222abbbaaab，所以左端＝右端；当3)(xxf时，左端＝4434babaxdx，而右端＝4]2)([644333abbbaaab，所以左端＝右端；当4)(xxf时，左端＝5545babaxdx，而右端＝]4)([6445bbaaab右端.所以该求积公式有3次代数精度.同样可以证明公式（3.1.6）、（3.1.7）代数精度均为1次.第二节牛顿—柯特斯公式一、构造数值积分公式的基本方法构造形如0()()nbkkakfxdxAfx的数值积分公式的方法很多，常用的方法之一是利用被积函数)(xf的插值多项式来构造，即被积函数xf用其n次拉格朗日型插值多项式xPn的积分近似替代，即000.nnnbbbnkkkkaaakkkfxdxpxdxfxlxdxfxlxdx（3.2.1）其中bxxxan10，xlk为节点kxnk,,2,1,0的插值基函数。若记011011bbkknkkaakkkkkknxxxxxxxxAlxdxdxxxxxxxxx（3.2.2）可以得到形如（3.1.9）的公式，我们称由系数（3.2.2）确定的数值积分公式（3.2.1）为插值型数值求积公式.积分的真值bafxdx与其数值积分公式给出的近似值之差称为该数值积分公式的截断误差（或余项），记作fR.那么数值积分公式（3.2.1）的误差为0nbkkakRffxdxAfx=bbnaafxdxPxdx=bnafxPxdx=111!nbnafxdxn其中nnxxxxxxx101,ba,.显然，含有1n个节点的插值型数值积分公式的代数精度至少是n次.若将积分区间],[ban等分并取分点khaxk,nknabh,,1,0,相应的插值型积分公式为：nkknkxfCabfI0（3.2.3）称上式为牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中nkC称为柯特斯系数.只要给出区间的等分数n，就能算出nnnnCCC,,,10，从而由公式（3.2.3）可以得到相应的牛顿—柯特斯公式.例如,当1n时有1100112Ctdt111012Ctdt相应的牛顿—柯特斯公式为bfafabfI2（3.2.3）这就是前面所提到的梯形公式.此时1baIfPxdx,相当于在(3.2.1)中()fx用1Px来代替.当2n时，有2200111246Cttdt221014226Cttdt222011146Cttdt相应的牛顿—柯特斯公式为：bfbafafabfI246.（3.2.4）这就是辛普森公式。梯形公式的几何意义是：当0)(xf时，利用过两点(,())afa,(,())bfb的直线1yPx对应的梯形面积去近似代替xfy所对应的曲边梯形面积.辛普森公式的几何意义是：当0)(xf时，利用过三点(,())afa,22(,())ababf,(,())bfb的抛物线xPy2对应的曲边梯形面积去近似代替xfy所对应的曲边梯形面积.当3n时，相应的牛顿—柯特斯公式称为柯特斯公式.为了使用方便，我们把部分柯特斯系数列在表中，利用柯特斯系数表可以很快得到各种牛顿—柯特斯公式表3-1牛顿—柯特斯公式系数表nnC0nC1nC2nC3nC4nC5nC612121261646138183838149074516152451690752881996251442514425962528819684041359280910534280935984041下面给出牛顿—柯特斯公式的误差定理3.1若xf在ba,上连续，则梯形公式的余项为fabfR123ba,（3.2.5）定理3.2若xf4在ba,连续，则辛普森公式的余项为452901fabfRba,.（3.2.6）练习：分别用梯形公式、辛普森公式计算积分10dxex，并估计各种方法计算结果的误差.