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莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目:用矩阵的初等变换化实二次型为标准形姓名:廖丹学号:410401141莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6月20日用矩阵的初等变换化实二次型为标准形041数本410401141廖丹摘要:本文介绍两种特殊方法:一种是用正交变换化实二次型为标准形,另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形.关键词:初等变换第三种初等阵非异阵实二次型标准形1.数域下任意一个实二次型XAX,总可以经过非奇异变换XPY使得21niiiXAXdy,其中id为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法最大的缺点是不易求矩阵P.下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形,一举求出非异阵P.定义1.1以()ijkT表示将单位矩阵的j行(列)的k倍加到i行(列),所得到的第三种初等阵.定理1.2设A是n阶实对称阵,P是有限个第三种初等阵()ijkT,1i的乘积.且110daPAA其中a是1n维行向量,1A是1n阶阵,则必有100dPAPA.证明:由于P是()ijkT的乘积,且1i,根据矩阵的乘法规则,用P右乘PA时,PA的第一列元素不变,从而110dPAPA,即A是实对称的.PAP亦为实对称阵0这个定理实质上就给出矩阵A化标准形,求出变换矩阵P的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A化为上三角形.现作矩阵,AE找出P使,,PAEPAP1*,00rddP则这个P的转置阵就是我们要找的非异阵P,它使PAP为对角阵.即只要对,AE作有限次第三种初等变换()ijkT,ij,则当把A变换成上三角阵时,,AE的E就同时化为P,且使100rddPAP.例1求非异阵P,使PAP为对角阵,其中112110202A.解:112100,110010202001AE21112100022110202001rr31(2)rr32112100112100022110022110022201000111rr故由定理知111011001P.100020000PAP例2将实二次型122313262xxxxxx化为平方和.解:此二次型的系数矩阵011103130A,A的主对角元素全是0,故不能立即引用定理,需先对A作初等行变换及其相应的列.使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数,然后再用定理即可.12011100112110,103010103010130001130001rrAE12123112212110212110111103010020222230001022111rrrrcc324212110111020222006311rr11321112001P,2126PAP令XPY,则122313262xxxxxx2221231262yyy.2.若要求一正交阵P使PAP成对角阵,这等价于经过正交变换XPY将二次型XAX化为标准形.一般步骤是通过施密特正交化过程来求解,但此方法较为复杂,下面介绍用解一些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形.定理2.1设A为nn阶矩阵,秩Ar,且nnnAE列初等变换(1)(1)*nnnnnnBQP其中B是秩为r的列满秩矩阵,则矩阵P所含nr个列向量就是齐次线性方程组0AX的一个基础解系.证明:秩Ar存在可逆的n级矩阵12SPPP使12*,0SnrAPPPB,其中*nrB是秩为r的列满秩矩阵同理:12*,*()nSnrnnrEPPPEE,其中*nrE表示秩为r的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵,*()nnrE表示秩为nr的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵*12(1)0nnnnSnnnnnBAPPPQPE,其中nnnrQE,()nnnnrPE由于0AX的解向量个数为nr,而()nnrP为秩为nr的列满秩矩阵再由初等变换原理易知:矩阵P所含nr个列向量就是齐次线性方程组0AX的一个基础解系.定理2.2矩阵A的特征矩阵A经列的初等变换可化为下三角的矩阵B,且B的主对角线上元素的乘积的多项式的根恰为A的所有特征根.此定理证明与定理1.2相仿,故省去.下面探讨计算方法:设AEA且AE列初等变换BA,其中B为下三角矩阵,则B的主对角线上的全部元素的多项式的全部根恰为矩阵A的全部特征根,对于矩阵A的每一特征根i,若矩阵B中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么矩阵iP中和iB中零向量所对应的列向量是属于特征根i的全部线性无关的特征向量;否则继续iiBA列初等变换**iiBP使得*iB中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么*iP中和*iB中向量对应的列向量是属于特征根i的全部线性无关的特征向量.设所求出的特征向量111111iskiikssk,它是一组线性无关的向量,以ij为列向量构成矩阵ijB,则BB是一个n阶正定矩阵,必与单位矩阵正合同,即存在n阶可逆矩阵Q,使得1QBBQE即2QBBQE1式说明:对矩阵BB施行一系列的列初等变换,(相应的初等矩阵的乘积为Q)及一系列的行初等变换(相应的初等矩阵的乘积为Q),可化为单位矩阵;(2)式说明:BQ的列向量组是一个标准正交基,BQ可以通过对矩阵B施行与对矩阵BB所施行的相同的初等变换求出.于是得到求正交矩阵的初等变换法BBEBBQ对BB施行列初等变换,对B施行行初等变换.实际上将BB化为E,可先用111a分别乘以11a所在的行和列使11a变成1;再施以列初等变换把11a所在行其他元素化为0,又施以行初等变换把11a所在列的其他元素化为0,按此法,依次把22nnaa,变为1.其它元素变为0,那么矩阵BQ即为所求的矩阵P,且PAP为对角阵,其中主对角线上元素11,silskk例1求正交矩阵P使PAP为对角阵,其中422242224A.解:422242224100010001AE210012412214244812222222001001010010114001222210012022582200101111322矩阵A的特征根为12(二重),28.当12时,有111001001000010111122BP非零向量的列构成满秩矩阵,对应零向量的向量12011,112当28时,同法求出对应特征向量3111,123,,是无关的,以123,,为列向量构成矩阵B,再求出BB于是得:10001023000136021003063011111111263121111263BBB即得:21063111263111263P且有200020008PAP参考文献:[1]北大.高等代数[M].高等教育出版社,1989.11[2]北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].高等教育出版社,1987.3[3]王琳.用正交变换化实二次型为标准形方法研究[J].数学通讯,1990(3)[4]牟俊霖、李青古.洞穿考研数学[M].航空工业出版社,2005.3
本文标题:用初等变换化二次型为标准型
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