集合典型例题

1.集合的含义及其表示（一）集合元素的互异性1.已知xR，则集合2{3,,2}xxx中元素x所应满足的条件为变式：已知集合}33,)1(,2{22aaaaA，若A1，则实数a的值为_______2.cbaM,,中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形（二）集合的表示方法1.用列举法表示下列集合（1）||||{|,,}abAxxabab为非零实数__________________________变式：已知a,b,c为非零实数,则||||||||abcabcabcabc的值组成的集合为___（2）},36|),{(*NxZxyyxA____)}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(A变式1：12,6AxxNNx变式2：NyNxyxyxA,,6,（3）集合},,|{},22,|{2AxxyyBxZxxA用列举法表示集合B（4）已知集合M=}56|{*NaZa，则集合M中的元素为变式：已知集合M=}|56{*NaZa，则集合M中的元素为2.用描述法表示下列集合（1）直角坐标系中坐标轴上的点_______________________________变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点______________Rxxyyx,),（（2）能被3整除的整数_______________________Znnxx,3.3.已知集合10，A，AxxB，AxxC（1）用列举法写出集合CB,；（2）研究集合CBA,,之间的包含或属于关系4.命题(1)200x；(2)00,0；(3)0；(4)0N表述正确的是.5.使用和和数集符号来替代下列自然语言：（1）“255是正整数”（2）“2的平方根不是有理数”（3）“3.1416是正有理数”（4）“-1是整数”（5）“x不是实数”6.用列举法表示下列集合：（1）不超过30的素数（2）五边形ABCDE的对角线（3）左右对称的大写英文字母（4）60的正约数7.用描述法表示：若平面上所有的点组成集合E，EBEA,（1）平面上以A为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为_________5PAEP（2）说明下列集合的几何意义：5PAEP；PBPAEP8.当ba,满足什么条件时，集合0baxx是有限集？无限集？空集？9.元素0、空集、0、三者的区别？10.请用描述法写出一些集合A，使它满足：（i）集合A为单元素集，即A中只含有一个元素；（ii）集合A只含有两个元素；（iii）集合A为空集11.试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。先有鸡还是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来的鸡组成一个集合J，孵出了最早的鸡的蛋算不算鸡蛋呢？这是关键问题。设所有的鸡蛋组成集合D，要确定D的元素，就得立个标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义，问题的答案只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。（三）空集的性质1.若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________2.已知a是实数，若集合｛x|ax＝1｝是任何集合的子集，则a的值是_______.03.下列三个集合中表示空集的是(1){0}；(2){(x,y)|y2=-x2,x∈R，y∈R}；(3){x∈N|2x2+3x-2=0}.变式1：若集合BAxyxBxyyA则},1|{},|{=_______变式2：若集合1,0,1A，|cos(),ByyxxA，则AB_____1,1（四）集合相等1.已知集合A=1,,aba，B=0,,2baa，若A=B，则20032004ba_____2.已知集合1,1,12Axx，集合21,,Byy，且AB，求实数x和y的值.3.已知22{2,2010,1},{0,2010,3},AxBxxAB且，则x的值为________4.已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．5.已知集合21,1,12,1,,PddQqq,且PQ，则__,__dq6.两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：（1）用列举法分别写出下列集合：42aZaA；42bZbB（2）请你判断两集合A和集合B是否相等？2.集合方程问题1.若集合2|10,AxaxbxxR（1）若1,1A，求,ab的值；（2）若1A，求,ab的值2.若集合}01|{2xaxx有且只有一个元素，则实数a的取值集合为.3.设2,yxaxbAxyxa，求,ab.4.已知集合2210,AxaxxxR，a为实数.（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A是单元素集，求a的值；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．5.已知集合241xAaxxa关于的方程有惟一解，用列举法表示集合A为.变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何？3.子集、全集、补集1.集合A{01|kxx}，集合}0|{kxxB，若BA，k的取值集合．．．．为______2.设集合U={(x，y)|y=3x－1}，A={(x，y)|12xy=3}，则CUA=.3.M={x|2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a1}.若MN，实数a的取值范围为.4.若01)1(222axaxxA，B={x|x2-4x=0}，C={x|x2-8x+16=0}，若ABＵC,求实数a的取值范围5.1{xxA或}2x，}04{axxB，当AB时，实数a的取值范围为_____6.已知集合}21{axxA，}1{xxB，满足BA，则实数a的取值范围为____变式：已知集合510axxA，集合221xxB（1）若BA，求实数a的取值范围（2）若AB，求实数a的取值范围（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由7.已知集合|312Mxaxa，|13Nxx，若N≠MCR，实数a的取值范围为____________8.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，},9,1{)()(},2{BCACBAUU}8,6,4{)(BACU，则A,B.9.设UR，集合2|320Axxx，2|(1)0Bxxmxm,若BACU)(，m=________10.已知全集}3,2,1,0{U，若},3,1{2aaMCu，则a的值为____________11.若集合}20|{xxA.分别求出当全集为下列集合时的UAð.(1)RU；(2)}1|{xxU；(3)U}30|{xx.12.若集合}06{2xxxM，}0))(2({axxxN，且MN，则实数a的值为_______13.已知集合}9,8,6,4,2{A，}8,5,3,2,1{B，是否存在集合C，使C中的每个元素加上2就变成了A的一个子集，且C中的每个元素减去2就变成了B的一个子集？若存在，求出集合C；若不存在，说明理由14.}2,1{U，}0{2qpxxxA，}1{ACu，则qp____15.写出满足条件{a}M{a，b，c，d}的集合M16.已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B=17.设集合1,2,3,4,5,6A,4,5,6,7B,则满足SA且SB的集合S的个数为____________5618.已知集合220,10AxxpxqBxqxpx同时满足：,AB-2A，求实数,pq的值.解：两式相减，得5,11,23,22pqpqpq或或19.已知集合21,01,()(3)0AyyxxBxxaxa，分别根据下列条件，求实数a的取值范围.（1）ABA；（2）AB（1）-2-1，；（2）-4,120.04axaxxA，0342xxxB，0822mxxxC（1）若A3，求a的取值范围；（2）若4A，求a的取值范围；（3）若CCB，求m的取值范围.（4）若CB，求m的取值范围21.有限集中有一个特殊的集合，约定“空集是任何集合的子集”，为什么要作出这样的约定？任何一个约定式定义，它必须遵循：①规定的必要性；②规定的合理性。（1）必要性：从子集的定义可知，子集定义中所涉及的集合不包括空集。为了完善子集定义，约定空集是任何集合的子集是必要的；（2）合理性：由子集的定义显然有任何一个集合是它本身的子集，但是，上述这个结论中的“任何一个集合”，也是不包括空集的，只有规定了“空集是任何集合的子集”，才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都成立，这就是约定的合理性。22.请问是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？若存在，请举例；若不存在，请说明理由。A,1,1B等等；【拓展思考】请你给出一个集合，使它的两个元素同时也是它的子集，符合条件的集合，可以只含有这两个元素吗？2,1,2,1C；可以，集合,D23.元素和相等的子集（i）设集合9,8,6,4,3,1M,是否存在两个无共同元素的子集，两子集元素之和相等？（ii）在9~1这9个数字中任取6个不同的数组成集合M，请问符合条件（1）的子集是否存在，由此你可以得到什么一般性的结论？【拓展思考】若将集合M的元素个数变为7~9种的任一个，结论如何？24.与其子集元素个数一样多的集合是否存在这样的集合，它所含的元素的个数与它的某个真子集所含元素的个数一样多？【拓展思考】请你写出几个符合条件的无限集25.约数集的个数设非空集合NS，且满足条件“如果Sx，那么Sx16”（i）请你写出一个只含有一个元素的集合S；（ii）只含有三个元素的集合S只有是否唯一？若不唯一，请写出两个不同的集合S？（iii）满足题设的集合S共有几个？（iV）对非空集合NS，若使集合S所含元素的个数不超过四个，那么题设条件可以改为_______________________4.交集、并集运算1.已知1,21,AxyxByyxxR，则AB_________变式1：若集合}1|{},2|{xyyPyyMx，则M∩P=:2.设集合{|10Axx或40},{|22}xBxaxa（1）若AB，则实数a的取值范围为____________（2）若ABB，则实数a的取值范围为____________3.已知集合A=},1|{2Zxxyx,},12|{AxxyyB,则BA=4.已知集合14Axaxa，25Bxxx或，全集UR（1）若AB,求实数a的取值范围（2）若ABCu，求实数a的取值范围5.集合22|190Axxaxa，2|560Bxxx，2|280Cxxx满足,AB，,AC实数a的值为6.已知全集|09,|1UxxAxxa，若非空集合AU，则实数a的取