如何计算π的值(MATLAB)

如何计算的值1、蒙特卡罗（MonteCarlo）法思想：取一正方形A，以A的一个顶点为圆心，A的边长为半径画圆，取四分之一圆（正方形内的四分之一圆）为扇形B。已知A的面积，只要求出B的面积与A的面积之比BASkS，就能得出BS，再由B的面积为圆面积的四分之一，利用公式2=SR圆即可求出的值。因此，我们的目的就是要找出k的值。可以把A和B看成是由无限多个点组成，而B内的所有点都在A内。随机产生n个点，若落在B内的有m个点（假定A的边长为1，以扇形圆心为坐标系原点。则只要使随机产生横纵坐标x、y满足221xy的点，就是落在B内的点），则可近似得出k的值，即mkn，由此就可以求出的值。程序（1）：i=1;m=0;n=1000;fori=1:na=rand(1,2);ifa(1)^2+a(2)^2=1m=m+1;endendp=vpa(4*m/n,30)程序运行结果：p=3.140000000000000000000000000002、泰勒级数法思想：反正切函数arctanx的泰勒级数展开式为：35211arctan(1)3521kkxxxxxk将1x代入上式有1111arctan11(1)43521nn.利用这个式子就可以求出的值了。程序（2）：i=1;n=1000;s=0;fori=1:ns=s+(-1)^(i-1)/(2*i-1);endp=vpa(4*s,30)程序运行结果：p=3.14059265383979413499559996126当取n的值为10000时，就会花费很长时间，而且精度也不是很高。原因是1x时，arctan1的展开式收敛太慢。因此就需要找出一个x使得arctanx收敛更快。若取12x，则我们只有找出与4的关系，才能求出的值。令1arctan2，4，根据公式tantantan()1tantan有1tan3，则有11arctanarctan423。所以可以用11arctanarctan423来计算的值。程序（'2）：i=1;n=1000;s=0;s1=0;s2=0;fori=1:ns1=s1+(-1)^(i-1)*(1/2)^(2*i-1)/(2*i-1);s2=s2+(-1)^(i-1)*(1/3)^(2*i-1)/(2*i-1);ends=s1+s2;p=vpa(4*s,30)程序运行结果：p=3.14159265358979323846264338328显然，级数收敛越快，取同样的n值可以得到更高的精度。以同样的方法，能得出114arctanarctan45239，程序和上面的一样。这样的近似值可以精确到几百位。3、数值积分法思想：半径为1的圆的面积是。以圆心为原点建立直角坐标系，则圆在第一象限的扇形是由21yx与x轴，y轴所围成的图形，扇形的面积4s。只要求出扇形的面积，就可得出的值。而扇形面积可近似等于定积分1201xdx的值。对于定积分()bafxdx的值，可以看做成曲线与x轴，xa，xb所围的曲边梯形的面积S。把,ab分成n等分，既得1n个点xa，1x，1nx，xb组成n个小区间，每一个小区间与x轴，xa，xb所围成的图形是一个小曲边梯形。而梯形的面积计算公式是(+)2上底下底高，对于第i个小曲边梯形有上底为1()ifx，下底为()ifx。所有小梯形的高都为()/hban。所以第i个小曲边梯形的面积为1(()+())2iifxfxh。曲边梯形的总面积即定积分()bafxdx的值就是所有小梯形的面积总和。为了避免根号，我们也可以利用积分120114dxx得出的值。我们可以利用对求曲边梯形的面积来得出定积分12011dxx的值，从而得出的值。程序（3）：a=0;b=1;s=0;n=1000;i=0;h=(b-a)/n;fori=0:(n-1)xi=a+i*h;yi=1/(1+(xi)^2);xj=a+(i+1)*h;yj=1/(1+(xj)^2);s=s+(yi+yj)*h/2;endp=vpa(4*s,30)程序运行结果：p=3.14159248692312775830259852228对于数值积分法求值，以上程序简洁明了。我们也可以以x做循环，用一条语句求出值。程序（3’）：s=0;n=1000;forx=0:(1/n):(1-(1/n))s=s+(1/(1+x^2)+1/(1+(x+(1/n))^2))*(1/n)/2;endp=vpa(4*s,30)程序运行结果：p=3.14159248692312775830259852228用以上三种方法求，n都取1000时，泰勒级数法求，得到的近似值精度最高。