浮点数表示方法总结

计算机中数据的表示之关于浮点数1.关于浮点数的问题浮点数的一般格式：格式（1）格式（2）注意：（1）一般浮点数尾数采用纯小数（隐含位为0）来表示，即尾数M与定点小数表示方法相同，由于尾数的符号位决定整个浮点数的符号，故有时采用格式（2）的形式；（2）当尾数真值为0（不论阶码何值），或阶码的值比能在机器中表示的最小值还小，计算机把该浮点数看成零值，称为机器零，即浮点数表示不了真值绝对值很接近0的数，只能看成0处理；（3）尾数通常用原码或补码表示，阶码一般用移码或补码表示，如无特别说明，采用课本44页移码表示方法。浮点数表示范围：最大阶码最大正数=最大正尾数2最小阶码最小正数=最小正尾数2最小阶码最大负数=最大负尾数2最大阶码最小负数=最小负尾数2那么给定一浮点数的表示形式，包括符号、阶码、尾数各占位数及其采用哪种机器码表示，如求其能表示最大负数，转化为求这种表示形式的能表示的最大负尾数，最小阶码。浮点数规格化表示：为了提高数据的表示精度，当浮点数尾数的真值不为0时，满足条件112尾数真值，称为一般浮点数的规格化表示。如没特别说明，指的是一般的非规格化浮点数。注意规格化浮点数与一般浮点数一样，隐含位也是0，仅仅对尾数真值加上这一约束条件而已。对于不同码制，特征如下：（1）尾数原码表示：（采用形式（1），按照尾数数值位为n位）①尾数0时，其尾数部分形式尾数符号1位尾数数值n位01XXXXXXXXXXXXXXXXXX称为规格化最大：尾数部分0111…11，真值为12n；最小：尾数部分0100…00，真值为12；②尾数0时，其尾数部分形式尾数符号1位尾数数值n位11XXXXXXXXXXXXXXXXXX称为规格化最大：尾数部分1100…00，真值为12；最小：尾数部分1111…11，真值为(12)n；（2）尾数补码表示：（采用形式（1），按照尾数数值位为n位）esemsm阶码E尾数M阶码符号1位尾数符号1位k位n位esemsm阶码E尾数数值阶码符号1位尾数符号1位k位n位0负数区正数区下溢上溢上溢①尾数0时，其尾数部分形式尾数符号1位尾数数值n位01XXXXXXXXXXXXXXXXXX称为规格化最大：尾数部分0111…11，真值为12n；最小：尾数部分0100…00，真值为12；②尾数0时，其尾数部分形式尾数符号1位尾数数值n位10XXXXXXXXXXXXXXXXXX称为规格化（注意：某些书上对此含糊其辞，参考清华（郑纬民：计算机系统结构）与上交大的书，以此为准！）最大：尾数部分1011…11，真值为1(2)2n；最小：尾数部分1000…00，真值为-1；关于IEEE745浮点数：表示形式Emsm阶码尾数数值尾数符号1位原码表示移码表示数符（1）IEEE754浮点数短浮点数和长浮点数尾数隐含位为1，临时浮点数没有隐含位，注意阶码的偏置值与一般浮点数不同，对于单精度和双精度数(1)1.2smEm偏置值表示真值；短浮点数和长浮点数尾数采用隐含位为1称之为规格化的IEEE短浮点数与长浮点数（注意区别一般的规格化浮点数）。IEEE标准中也引入了非规格化浮点数，规定当浮点数的指数为允许的最小指数值时，尾数不必是规格化（Normalized）的。有了非规格浮点数，去掉了隐含的尾数位的制约，可以保存绝对值更小的浮点数。（2）机器零表示为全0；（3）无限大数阶码全1，尾数全0，符号位指示正无穷或者负无穷。若阶码全1，尾数不全0，表示NaN（非数字）。（4）由于（2）（3）原因，单精度数阶码部分不能使用11111111和00000000，双精度阶码不能使用11111111111和00000000000。2.课本习题3-4解答以下解答采用浮点数表示形式（1），注意本题目不是IEEE754的格式！！！！！指的是一般浮点数。（1）根据浮点数的表示范围，实质上是找到最大正尾数、最大阶码的表示及其真值（没有特别指出指的是一般格式浮点数，不用考虑规格化）阶码：移码（课本44-45页），故全1时最大；尾数：补码二进制表示为：01111111111111111111111111111111真值：23127(12)2（2）实质上是找到最小负尾数、最大阶码（没有特别指出指的是一般格式浮点数，不用考虑规格化）二进制表示为：10000000000000000000000011111111真值：1272（3）规格化需要特别注意其尾数的形式！！！尾数为补码，注意其正、负的表示形式最大正数形式：01111111111111111111111111111111真值：23127(12)2最小正数形式：01000000000000000000000000000000真值：128122最大负数形式：10111111111111111111111100000000真值：231281(2)22最小负数形式：10000000000000000000000011111111真值：12723.关于IEEE754标准表示范围的讨论（以短浮点数为例）IEEE754标准的短浮点数采用偏置值为127的移码作为阶码，尾数采用原码表示，规格化的IEEE短浮点数有隐含位为1。（注意区别于一般的浮点数的特点）故规格化的IEEE短浮点数表示范围讨论如下：最大正数，考虑到阶码的取值限制，只能取00000001-11111110，故形式为11111111111111111111111011111110真值：23127(22)2最小正数：00000000000000000000000000000001真值：1262最大负数：00000000000000000000000100000001真值：1262最小负数：11111111111111111111111111111110真值：23127(22)2另，当全0时，用来表示浮点0关于规格化的IEEE长浮点数的范围，请大家自行推理研究。上次考试原题：IEEE754标准规定32位浮点数格式中，符号位1位，阶码为8位，尾数为23位，则能表示的最大规格化正数为：A.23127(22)2B.23127(12)2C.23255(22)2D.12723224.更多（1）数据表示这部分机器码中补码作为重点及难点，对于数据的表示，着重从其设计思想上理解，如果实在是不能够理解和推导出这几种机器码的表示方式及范围，只能记住了；对于求数值的机器数，比如负数的补码，可以采用公式，也可采用符号位为1，数值位取反末位加1去得到，反过来求机器数的真值道理亦然；（2）浮点数这部分是难点，请大家仔细阅读本文，应该能区别开一般的作为理论研究的浮点数，一般的规格化浮点数以及在IEEE754标准下的浮点数之不同；（3）关于数据表示的内容，课堂上只学到了最基本的，其实还有很多，比如按照某种要求设计一种浮点数，某种浮点数的表示方法的评价标准包括表数精度、表数效率、基值选择、格式设计等等，计算机系统结构学科关于这部分的内容很多很多，有兴趣同学可参考清华大学教授郑纬民编写的《计算机系统结构》一书。