数列在日常经济生活中的应用-课件

数列在日常经济生活中的应用返回学习目标1．正确理解储蓄及利息的计算方法．2．了解并掌握购房贷款中的相关知识．3．明确现行银行的还款方式．返回课前自主学案温故夯基1．数列{an}为等差数列⇔____________________；等差数列的通项公式为：___________________；前n项和公式为Sn＝_________________________.an＋1－an＝d(n∈N＋)an＝a1＋(n－1)dna1＋an2＝na1＋nn－12d返回2．数列{an}为等比数列⇔______________________；等比数列的通项公式为：______________；前n项和公式为________________________.an＋1an＝q(q≠0，n∈N＋)an＝a1qn－1Sn＝na1a11－qn1－qq＝1q≠1返回知新益能1．有关增长率、利率等的计算(1)增长率＝____________；(2)优惠率＝______________________；(3)存款利率＝_________.增长量增长前的量购买商品获得的优惠额商品标价利息存款额返回2．数列应用题常见模型(1)复利公式按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝__________.(2)产值模型原来产值的基础数N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝_________.(3)单利公式利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝_________．P(1＋r)nN(1＋p)xP(1＋nr)返回问题探究1．什么情况下建立数列模型？提示：根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型．建立数列模型前，通常先设出an所表示的意义，再判断数列{an}是等差数列还是等比数列．其判断等差数列或等比数列的方法是用定义法，即确定an＋1－an是常数或an＋1an是常数．返回2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？提示：单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．返回课堂互动讲练等差数列模型(单利问题)考点突破按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚：(1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．返回例1用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？【思路点拨】先将实际问题转化为数学问题，这是一个等差数列问题，用等差数列来解决．返回【解】购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)；…；an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝(4－n－15)(万元)(n＝1,2，…，10)．因而数列{an}是首项为4,返回公差为－15的等差数列．a5＝4－5－15＝3.2(万元)．S10＝10×4＋10×10－1×－152＝31(万元)．31＋5＝36(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．返回【规律小结】单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(以下简称本利和)，则有S＝P(1＋nr)．返回自我挑战1李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年．(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰.问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息税)返回解：(1)100×36＋100×2.7‰×36＋1×362＝3779.82(元)．(2)100×36＋100×1.725‰×36＋1×362×(1－20%)＝3691.908(元)．3779．82－3691.908＝87.912(元)．即“教育储蓄”一次支取本息3779.82元，比“零存整取”多收益87.912元．返回等比数列模型(复利问题)复利问题的数列模型为等比数列，可利用等比数列的有关知识灵活求解．返回例2陈老师购买工程集资房92m2，单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款(注①)，经过一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注②)，那么每年应付款多少元？(注③)返回注：①分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和．②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息．③必要时参考下列数据.1.0759≈1.971,1.07510≈2.061，1.07511≈2.216.返回【思路点拨】按复利分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个款现价到最后一次付款时所生的利息之和．返回【解】设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1000×92－(28800＋14400)]×1.07510＝48800×1.07510(元).返回因此有x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48800×1.07510(元)，所以x＝48800×1.07510×1.075－11.07510－1≈48800×2.061×0.071≈7141(元)．∴每年需付款7141元．返回【名师点评】复利分期付款中的有关计算方法既是重点，也是难点，突破难点的关键在于：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值．(注：最后一次付款没有利息)(2)明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系．返回自我挑战2某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2010年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2020年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？解：从2010年年初到2011年年初有存款b1＝a(1＋p)元，设第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p).将之变形为返回bn＋1＋a1＋pp＝(1＋p)[bn＋a1＋pp]，其中b1＋a1＋pp＝a1＋p2p.∴{bn＋a1＋pp}是以a1＋p2p为首项，(1＋p)为公比的等比数列，于是bn＝ap[(1＋p)n＋1－(1＋p)]．即这个家庭到2020年年初本利可达ap[(1＋p)11－(1＋p)]元．返回解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通过审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn.等差、等比数列的综合应用返回例3假设某市2010年新建住房400万m2，其中有250万m2是中、低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万m2.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4750万m2?(2)当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?返回【思路点拨】第(1)问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数列通项公式求出bn表达式，解不等式an0.85bn，求得n的最小正整数解．【解】(1)设中、低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋nn－12×50＝25n2＋225n，返回令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.∴到2019年底，该市历年所建中、低价房的累计面积将首次不少于4750万m2.(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400·(1.08)n－1，由题意可知an0.85bn，有250＋(n－1)50400·(1.08)n－1·0.85.返回由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6,∴到2015年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【名师点评】解决本题要明确是求和还是求通项，是等差模型还是等比模型．返回方法感悟1．等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．2．将实际问题转化为数列问题时应注意：(1)分清是等差数列还是等比数列；(2)分清是求an还是求Sn，特别要准确确定项数n；(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式．返回3．明确各种银行存款所对应的数列模型：(1)零存整取，在计算利息时，每次存入的钱不计复利，它就是等差数列模型；(2)定期自动转存型，在计算利息时，以复利计算，是等比数列模型；(3)分期付款是一种新的付款方式，每月按利息的复利计算，分期所付的款连同到最后一次付款时所产生的利息之和，等于商品售价与从购物到最后一次付款时的利息之和．返回4．数列是一类特殊函数，要注意函数思想、方程思想、转化思想等方法的使用，注重思维角度与解题途径的选择．