切比雪夫不等式及大数定律

NORTHUNIVERSITYOFCHINA第五章切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式二、大数定律第一节与大数定律(13)NORTHUNIVERSITYOFCHINA如何从理论上说明这一现象？Annfn这样作的理论依据是什么？问题1频率稳定性的问题事件A发生的频率在相同条件下进行n次重复试验，总是在[0,1]上的一个确定的常数p附近摆动，并且随着试验次数n的增大，越来越稳定地趋于p。问题2在精密测量时要反复测量然后再取平均值？引言:NORTHUNIVERSITYOFCHINA问题1就能得以解决.（1）对于问题1，要说明频率nf趋于常数p，自然会想到极限概念.如果能证明limnnfp即对任意的nfp存在正整数N，对于,nN有0,nf是随机变量，由于也不可能保证,nN切的一对有nfp成立。,其随机性使不论N取多大的值,请看下面的图示:NORTHUNIVERSITYOFCHINApppNnnfNORTHUNIVERSITYOFCHINAlim||0nnPfp（3）lim||1nnPfp||1nPfp（2）||0nPfp因此，只能求其次，去求证下面两式成立：为此,先来证明概率论中一个重要的不等式——切比雪夫不等式.或或NORTHUNIVERSITYOFCHINA一.切比雪夫不等式X()EX221PX()fx2()DX22PX（4）（5）即有0,定理1（切比雪夫定理）设随机变量的数学期望方差存在，则对任意的有：证:仅就连续型随机变量的情形进行证明.设X的概率密度函数为则有()fxPXNORTHUNIVERSITYOFCHINA2()10,Dx证毕.方差为由切比雪夫不等式有:解:试估计X落在(80,120)内的概率.例1()100,EX||()xfxdx22||()()xxfxdx221()()xfxdx22.已知随机变量X的数学期望为{80120}PX{80100100120100}PX{2010020}PX{|100|20}PX21010.97520PXNORTHUNIVERSITYOFCHINA例2在每次试验中事件A发生的概率为0.5.试用切比2()(1)10000.5(10.5)250.DXnPP~(1000,0.5),XB解：()10000.5500EXnP{450550}{450500500550500}PXPX{5050050}PX雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的的次数在450至550次之间的概率.设X表示事件A在1000次独立试验中发生的次数,则：由切比雪夫不等式有：225010.950{|500|50}PxNORTHUNIVERSITYOFCHINA二.大数定律定理2BernoulliAnYn设是重试验中事件发生的次数，pA是事件在每次试验中发生的概率，0则对任意的有lim0nnYPpn用事件发生的频率的来近似地估计它的概率.贝努里大数定律说明，在相同条件下独立地重复做n次当n较大时，事件A发生的频率Annfn与在每的概率可任意地小（接近于0）.因此，在实践中可以通试验，次试验中发生的概率p之差的绝对值大于任意指定正数过反复试验，贝努里大数定律NORTHUNIVERSITYOFCHINAnYPpn所以由切比雪夫不等式，证:有下式成立两边取极限，得~(,),nYBnp,nEYnp()(1),nDYnpp,nYEpn(1),nYppDnn对任意的0lim0nnYPpnn让从而21nYDn021(1)ppnNORTHUNIVERSITYOFCHINA切比雪夫大数定理定理3：设相互独立的随机变量(),1,2,iDXCi12,,,nXXX分别具有有限的数学期望及方差12(),(),(),nDXDXDX，12(),(),(),nEXEXEX，C若存在常数使则对任意0，1111lim0nniiniiPXEXnn有证：1111(()()nniiiiEXEXnn22111111()()nnniiiiiDXDXCnnn.CnNORTHUNIVERSITYOFCHINA由切比雪夫不等式，对任意有：1111lim{|()|0}0nniiniiPXEXnn0,22111().niiCDXnn11110{|()|}nniiiiPXEXnn从而：证毕.推论：设相互独立的随机变量12,,,nXXX服从相同的分布，且2(),(),1,2,iiEXDXi则对任意0，有11lim0niniPXnNORTHUNIVERSITYOFCHINA推论说明，若对同一随机现象进行反复观测，则其平均值与它的期望值之差的绝对值大于任意指定的小数的概率可任意地小.这一理论正好回答了问题2.即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值.当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测量的精度.