D3_4 隐函数及高阶导数(一)

第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数机动目录上页下页返回结束隐函数和参数方程求导第三章及高阶导数（一）三、高阶导数的概念一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)y机动目录上页下页返回结束例1.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即机动目录上页下页返回结束解出y，取正号例2.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因x=0时y=0,故确定的显函数机动目录上页下页返回结束例3.求由方程的导数解:将上式移项然后两边取对数确定的显函数机动目录上页下页返回结束方程两边对x求导即二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成x是y的函数)关系,机动目录上页下页返回结束例4.求参数方程的导数解:机动目录上页下页返回结束例5.求解:例6.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设为切线倾角,xyddtyddtxdd则yxo机动目录上页下页返回结束抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出(即t=0)时,倾角为12arctanvv达到最高点的时刻,2gvt高度落地时刻抛射最远距离速度的方向yxo2vtg22vtg机动目录上页下页返回结束例7.设由方程)10(1sin222yytttx确定函数,)(xyy求解:方程组两边对t求导,得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt2yttycos12dd22tycostydd0)1(2ddttxtyddtxdd机动目录上页下页返回结束思考与练习求螺线在对应于的点处的切线方程.解:化为参数方程sincosryrxxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222,),0(2M∴切线方程为22xy机动目录上页下页返回结束定义.若函数)(xfy的导数)(xfy可导,或即)(yy或)dd(dddd22xyxxy类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为n阶导数,或)(xf的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束三、高阶导数的概念设求解:1ayxa221nnxan212ayxa3232)1(nnxann依次类推,nnany!)(233xa例8.思考:设,)(为任意常数xy问可得机动目录上页下页返回结束nx)1(,,3xaeay例9.设求解:特别有:解:!)1(n规定0!=1思考:,xaey.)(ny,xaeay,2xaeayxanneay)(xnxee)()(例10.设求,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy)(ny1)1(nxy11y2)1(1x,机动目录上页下页返回结束例11.设求解:xycos)sin(2x)cos(2xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2xy)3sin(2x一般地,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n机动目录上页下页返回结束例12.设bxeyxasin解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求为常数,),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa机动目录上页下页返回结束例13.设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析:)(xf0x,43x0x,23xxxfx02lim)0(300xxfx04lim)0(3000x0x)(xf,122x,62x)0(fxxx206lim0)0(fxxx2012lim0)(xf但是,12)0(f,24)0(f)0(f不存在.2又0x,24x0x,12x阶数机动目录上页下页返回结束求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导y补充题1.设机动目录上页下页返回结束,求解：0ddtxy2.设方程组两边同时对t求导,得机动目录上页下页返回结束