2011年全国高中数学联赛试题及答案下载_doc可编辑

学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社2011年全国高中数学联赛一试一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321aaaaA，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{B，则集合A．2．函数11)(2xxxf的值域为．3．设ba,为正实数，2211ba，32)(4)(abba，则balog．4．如果)cos(sin7sincos3355，)2,0[，那么的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD中，已知60CDABDCADB，3BDAD，2CD，则四面体ABCD的外接球的半径为．7．直线012yx与抛物线xy42交于BA,两点，C为抛物线上的一点，90ACB，则点C的坐标为．8．已知naC)95,,2,1(2162003200nnnn，则数列}{na中整数项的个数为．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(xxf，实数)(,baba满足)21()(bbfaf，2lg4)21610(baf，求ba,的值．10．（20分）已知数列}{na满足：tta(321R且)1t，121)1(2)32(11nnnnnntattatan(N)*．（1）求数列}{na的通项公式；（2）若0t，试比较1na与na的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l与椭圆C：143622yx交于BA,两点（如图所示），且)2,23(P在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60APB，求△PAB的面积．yxOPAB学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社解答1．{3,0,2,6}.提示：显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321aaaa，故54321aaaa，于是集合A的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{A．2．2(,](1,)2.提示：设22,tanx，且4，则)4sin(21cossin11tancos1)(xf．设)4sin(2u，则12u，且0u，所以),1(]22,(1)(uxf．3．-1.提示：由2211ba，得abba22．又23322)(8)(24)(44)(4)(abababababbaabba，即abba22．①于是abba22．②再由不等式①中等号成立的条件，得1ab．与②联立解得,12,12ba或,12,12ba故1logba．4．45,4.提示：不等式)cos(sin7sincos3355等价于5353cos71cossin71sin.又5371)(xxxf是),(上的增函数，所以cossin，故kkk(45242Z)．因为)2,0[，所以的取值范围是45,4．学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社5．15000.提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537CC种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527CCC种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600．6．3.提示：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设MP,分别为CDAB,的中点，则N在DP上，且DPON，CDOM．因为60ADBCDBCDA，设CD与平面ABD所成角为，可求得32sin,31cos．在△DMN中，33233232,121DPDNCDDM．由余弦定理得231312)3(1222MN，故2MN．四边形DMON的外接圆的直径3322sinMNOD．故球O的半径3R．7．)2,1(或)6,9(．提示：设)2,(),,(),,(22211ttCyxByxA，由,4,0122xyyx得0482yy，则821yy，421yy．又12,122211yxyx，所以182)(22121yyxx，11)(24212121yyyyxx．因为90ACB，所以0CBCA，即有0)2)(2())((212212ytytxtxt，即0)(24)(21212212214yytyytxxtxxt，即03161424ttt，ABCDOPMN学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社即0)14)(34(22tttt．显然0142tt，否则01222tt，则点C在直线012yx上，从而点C与点A或点B重合．所以0342tt，解得3,121tt．故所求点C的坐标为)2,1(或)6,9(．8．15.提示：naC65400320020023nnn．要使)951(nan为整数，必有65400,3200nn均为整数，从而4|6n．当n2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n和65400n均为非负整数，所以na为整数，共有14个．当86n时，86aC5388620023，在C!114!86!20086200中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432，同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C86200中因数2的个数为511082197，故86a是整数．当92n时，92aC10369220023，在C!108!92!20092200中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C86200中因数2的个数为410588197，故92a不是整数．因此，整数项的个数为15114．9．因为)21()(bbfaf，所以|)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|bbbba，所以21ba或1)2)(1(ba，又因为ba，所以21ba，所以1)2)(1(ba．又由|)1lg(|)(aaf有意义知10a，从而2110bba，于是2110ba．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(bbbaba．从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(bbbbbaf．学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社又2lg4)21610(baf，所以2lg4]210)2(6lg[bb，故16210)2(6bb．解得31b或1b（舍去）．把31b代入1)2)(1(ba解得52a．所以52a，31b．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211nnnnntaata，则2111)1(212)1(21111nnnnnnnnntatataata．记nnnbta11，则221nnnbbb，21221111tttab．又211,211111bbbnn，从而有221)1(111nnbbn，故ntann211，于是有1)1(2ntann．（2）ntntaannnn)1(21)1(211)1)(1()1()1()1(211nnnttntttnnnt)()()1()1()1(2)1()1()1(211nnnnnntttttnntttntnnt132212)1()1()1()1(2nnnnnttttttnnt，显然在)1(0tt时恒有01nnaa，故nnaa1．11．（1）设直线l：mxy31，),(),,(2211yxByxA．将mxy31代入143622yx中，化简整理得03696222mmxx．学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社于是有2369,322121mxxmxx，232,2322211xykxykPBPA．则1212122112223232(2)(32)(2)(32)(32)(32)PAPByykkxxyxyxxx，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221xmxxmx)2(26))(22(322121mxxmxx)2(26)3)(22(2369322mmmm0122626312322mmmm，从而，0PBPAkk．又P在直线l的左上方，因此，APB的角平分线是平行于y轴的直线，所以△PAB的内切圆的圆心在直线23x上．（2）若60APB时，结合（1）的结论可知3,3PBPAkk．直线PA的方程为：)23(32xy，代入143622yx中，消去y得0)3313(18)331(69142xx．它的两根分别是1x和23，所以14)3313(18231x，即14)3313(231x．所以7)133(23|23|)3(1||12xPA．同理可求得7)133(23||PB．所以1||||sin602132(331)32(331)327721173.49PABSPAPB．学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社本文档选自华东师范大学出版社的《高中数学联赛备考手册（2012）（预赛试题集锦）》，该书收录了2011年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人员大多为各省市数学会成员，试题在遵循现行教学大纲，体现新课标精神的同时，在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工作，试题对高考有一定的指导作用，本书架起了联赛与高考的桥梁，是一本不可或缺的备考手册。图书推荐：“奥数”联赛冲刺篇“奥数”IMO终极篇更多免费图书资料，请在百度文库中搜索“学奥数，这里总有一本适合你”。学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社加试1.（40分）如图，QP,分别是圆内接四边形ABCD的对角线BDAC,的中点．若DPABPA，证明：CQBAQB．2.（40分）证明：对任意整数4n，存在一个n次多项式0111)(axaxaxxfnnn具有如下性质：（1）110,,,naaa均为正整数；（2）对任意正整数m，及任意)2(kk个互不相同的正整数krrr,,,21，均有)()()()(21krfrfrfmf．3.（50分）设)4(,,,21naaan是给定的正实数，naaa21．对任意正实数r，满足)1(nkj