3.4生活中的优化问题举例(2)

3.4生活中的优化问题举例第三章导数及其应用高二数学组王婧一、如何判断函数函数的单调性？f(x)为增函数f(x)为减函数设函数y=f(x)在某个区间内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤（1）确定定义域（2）求导数f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判断求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值；(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值。一般地，若函数y=f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则求f(x)的最值的步骤是：（1）求y=f(x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；（2）将函数的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.特别地，如果函数在给定开区间内只有一个极值点，则这个极值一定是最值。生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？x图3.4-1分析：已知版心的面积，你会如何建立函数关系表示海报四周的面积呢？128:,,xdmdmx解设版心的高为则版心的宽为此时四周空白面积为'0,160xsx当时，；128()(4)(2)128Sxxx51228,0xxx'2512 ()2Sxx求导数,得'2512()20Sxx令1616xx解得：，（舍）128128816x于是宽为：'16,0.xsx当时，因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：设出变量找出函数关系式上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案你还有其他方法求这个最值吗？解法二：由解法(一)得512512()28228Sxxxxx232872512,16(0)xxxSx当且仅当2即时取最小值8128此时y=16816dmdm答：使用版心宽为，长为时，四周空白面积最小。问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？例2：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？2()=0.8π-20=2()，f'rrrr令得r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07p∴每瓶饮料的利润：324()0.20.83yfrrrpp32=0.8(-)3rπr)60(r解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是当半径r＞２时，f’(r)0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)0它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值。２.半径为６cm时，利润最大。由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：设出变量找出函数关系式上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案你还有其他方法求这个最值吗？?,)44.1(,:你有什么发现上观察图从函数的图象直接数工具们不用导我果如换一个角度.,3r;,cm3,03f,3r,利润才为正值时当好相等成本恰饮料的利润与饮料瓶的时即瓶子半径是时当易看出图象上容从?,rf,2,0r解释它的实际意义吗你能是减函数时当ory223r3rπ8.0rf3图1.4-4思考：市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小，其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与大包装的利润.问题3、磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？例3.磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．⑴是不是r越小，磁盘的存储量越大？⑵r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？Rr思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域，且最外面的磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道数最多可达多少？RrRrm-思考2：由于每条磁道上的比特数相同，那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条磁道上的比特数？最内一条磁道.思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那么最内一条磁道上的比特数为多少？Rr2rnp思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多少比特？2Rrrmnp-×分析：存储量=磁道数×每磁道上的比特数设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n，且最外面的磁道不存储任何信息，所以磁道最多可达又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到所以，磁道总存储量为：,mrR.2nrp22.RrrfrrRrmnmnpp解：存储量=磁道数×每磁道的比特数设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储人何信息，所以磁道最多可达又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到所以，磁道总存储量,mrR.2nrp.22rRrmnrnrmrRrfpp（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.(2)为求的最大值，计算xf,0'rf,22'rRmnrfp令0'rf解得2Rr,02;02''rfRrrfRr时，当时，当因此，当时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为2Rr.22mnRp由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。练习1、一条长为的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为2221)4()4(xlxssS)22(16122llxx解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,其中0xl)2(81)24(161lxlxS2,0lxS得令由问题的实际意义可知：.,2取最小值时当Slx.322l最小值为l而0xL/2时,;xL/2时,,所以x=L/2是f(x)的极小值点.0)(xf0)(xf思考2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？分析:“所用材料最省”用什么量来刻划?表面积设半径为R,则高为h表面积写成R的函数,问题就转化求函数的最值问题Rh练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为又(定值),.2RVhp则222)(RRhRSpp2222)(RRVRRSppp.222RRVp.042)(2RRVRSp由.23pVR解得3222ppVRVh从而即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答：罐高与底的直径相等时,所用材料最省.hRV2pR变式题:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大?Rh提示：2SRhp+22Rp222SRhRppV(R)=2222SRRRppp=2311(2)22SRRSRRpp令'()VR=026SRp226222RRhRhRppp．练习3(课本第37页A组第6题)已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为1004Cq,价格p与产量q的函数关系式为1258pq求产量q为何值时，利润L最大？1(25)(1004)8LpqCqqq解：利润21211008qq1'21,'0,4LqL令84q求得'0L当时,q84,'0L当时,q84,84qL当产量为时，利润最大21211008qq1(25)(1004)8LpqCqqq另解：利润2184124bqLa当时，的值最大0q200(课本第37页B组第1题)某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间的单价每增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费２０元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大20)50()50)(10180(xxxW8000340102xx17,0)('xxW求得令17,0)('xxW时当17,0)('xxW时；当17xW，利最大1801017350房价：（元）xy练习3如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0x2),则A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0x2)..16246)(2xxxS令,得.3322,33220)(21xxxS),2,0(1x所以当时,.9332)(3322maxxSx因此当点B为时,矩形的最大面积是)0,2322(.9332练习4:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.设,由x,y为正实数得:sin21,cos1yx.0p.sin)cos1(21xy.sin)cos1(21)(f设).21)(cos1(cos]cos)cos1(sin[21)(2f令,得又0)(f;21cos,1cos.3,0pp,又f(0)=f(π)=0,833)3