蒙特卡罗法的改进之重要抽样法

LOGO我们毕业啦其实是答辩的标题地方蒙特卡罗法的改进小组成员2018讲解人日期M-C法的优缺点重要抽样法公式推导例题分析CONTANTS概述M-C法的优缺点优点：回避了结构可靠度分析中的数学困难，不考虑极限状态曲面的复杂性。由于蒙特卡罗法具有相对精确的特点，常用于结构可靠度各种近似方法计算精度的检验和计算结果的校核。缺点：计算量大，因此不作为一种常规的结构可靠度分析方法来使用，只是用于一些复杂情况的可靠度分析。概述重要抽样法直接抽样法：直接通过随机抽样对结构可靠度进行模拟，是结构可靠度蒙特卡洛分析最基本的一种方法，它几乎不需要作任何前期准备工作，但也正因为如此，直接模拟方法的效率和精度也较低，因而只适用于结构可靠度不高的情况。重要抽样法：提高蒙特卡罗法计算效率和改善估算精度的途径是降低被估计量估计值的方差。对于结构可靠度问题，降低结构失效概率估计值方差的常用方法就是重要抽样法。2^fp详述重要抽样法总体思路：对于结构可靠度问题，提高蒙特卡罗法抽样效率的途径是增加Z=g(X)0的机会，也就是使抽取的样本点尽可能多地落入失效域内，这时就需要改变随机变量的抽样“重心”。改写公式：FfdxxfP)(结构失效的基本表达式dxxfxgIPf)()]([将积分域扩展到整个实数域0)(00)(1)]([)()]([xgxgxgIxgZxgI的示性函数：为功能函数详述重要抽样法）（1)()]([dxxfxgIPf根据重要抽样的基本概念，将（1）式改写为（2）式的形式。）（2)()()()]([dvvpvpvfxgIPVVXf的概率密度函数。表示随机向量其中，),,,()(21nVVVVVvp个样本向量。的第为的估计值，抽样的失效概率表示以其中，的估计值为抽样，则对若以iVVVVvvvvPvpPvpvfvgINPPVvpniniiitVfpNiivixifpfV),,,(),,,()()()()]([1)(2121^1^概述重要抽样法。和方差的均值的估计值，即求失效概率2^fpfPPfptPPfXVVXVXNiiViXifppfPdvvfvgIdvvpvpvfvgIvpvfvgIENNvpvfvgINEPE)()]([)()()()]([)()()]([1)()()]([1)(1^的无偏估计量。为因而ffpPP^概述重要抽样法。则需要非常大。例如抽取的样本数），估算精度（即较小的较小时，要达到较高的构的失效概率从上式可以看出：当结或的变异系数为：则的方差为：取642^222^222222222222112212221222^2^^210,1.0,1011)(1)()]([1),()()()()()]([11)()()()]([112)()()]([1)()()]([)()()]([1)()()]([1)()()]([1)()]([NPNPPPNNPPPPPNPdvvfvgINPvfvpPdvvpvpvfvgINPNdvvpvpvfvgINPPNNvpvfvgIENPvpvfvgIvpvfvgIENvpvfvgIENPvpvfvgIENPPEPEPEfpfpfpfffpfpfpPfPffPfffPPPfpfffXPfpXVfVVXfVVXffVXfNiNjjVjXjiViXiiViXiNifNiiViXiffpfpfpP详述重要抽样法。概率贡献最大的一点为失效域内对结构失效故，将抽取“重心”取利。增大，对问题的解决不使点落入失效域内反而会使抽取的绝大部分样本选择的使果选择的入失效域的机会，但如应增加抽取的样本点落的思路：直观上我们选择减小？的形式才能让的形式问题：取什么样概率密度函数),,,()()()()(**2*1*22nPVVVPVvvvvvpvpvpvpff取为相应的验算点值。的结果，将阶矩方法点的确定：利用一次二**vv密度函数。）取为正态分布的概率（相同的形式。）取与（的具体取法：2)(1)(vfvpXV域。失效概率贡献最大的区心”转移到对结构“重心”，将抽样“重只是改变了抽样的抽样没有本质的区别，较而言，重要与直接蒙特卡洛方法比例题重要抽样法例：已知结构的极限状态方程为g(R,G,Q)=R-G-Q=0,R,G和Q分别为服从对数正态分布、正态分布和极值I型分布的随机变量，其平均值和标准差(或变异系数)为；，；，。52.319R17.0R试用重要抽样法估算结构的失效概率.00.53G71.3G00.70Q30.20Q解:首先利用一次二阶矩方法对本例进行分析，得验算点为R*=218.460,G*=53.810,Q*=164.650，结构可靠指标，相应于一次二阶矩方法的结构失效概率,数值积分结果为.。对于随机变量R：70.34100780.1fP4100949.1fP1688.017.01ln1ln7526.517.0152.319ln1ln22ln22lnRRRRR对于随机变量Q：864.600632.05772.0-0.705772.0-0632.03.2066QQ例题重要抽样法随机变量R,G和Q的概率密度函数分别为:864.600632.0exp864.600632.0exp0632.0expexp71.30.5321exp271.3121exp211688.07526.5ln21exp21688.01ln21exp212222222ln2lnlnqququqqfgggfrrrrrfQGGGGRRRR设为服从正态分布的随机向量，的概率密度函数为：321,,VVVVjV2221exp21jjjjvvjvjvvvp例题重要抽样法其中，和分别为的平均值和标准差。随机变量的第i个样本值可由下式产生:jvjvjVjVjjvijvijyv其中为抽取的标准正态随机变量的样本值。ijy最终得到结构失效概率的估计值：fPNiiViViViQiGiRiiiiViXNiifpvpvpvpvfvfvfvvvINvpvfvgINP1321321321132111将抽样随机向量V的标准差取为表1给出下面五种情况时结构失效概率的估计结果：QVGVRV3121,,fP;,,)5(;*,*,*)4(;*,*,*)3(;*,*,*)2(;*,*,*)1(321321321321321QVGVRVVVVVVVVVVVVVQGRQGRQGRQGR例题重要抽样法结论：第一种情况在不同模拟次数下随机波动最小。这是因为验算点附近区域是对结构失效概率贡献最大的区域，因而在验算点附近抽样质量最高。THANKS