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参考书1、流体力学,吴望一编著,北京大学出版社2、计算流体力学入门,JohnD.Anderson,JR.著,姚朝晖,周强编译,清华大学出版社3、AnintroductiontocomputationalFluidDynamics,VersteegandMalalasekera著,世界图书出版社4、流体力学泵与风机,蔡增基,龙天渝主编,中国建筑工业出版社5、空气动力学,吴子牛主编,清华大学出版社和Springer6、粘性流体力学,章梓雄,董曾南编著,清华大学出版社7、流体动力学,朗道和栗弗席兹著,李植译。本课程几个部分•1、场论与张量•2、流体力学基本概念•3、基本方程的推导•4、理想不可压缩流体•5、粘性不可压缩流体(层流、湍流、边界层)•6、CFD数值模拟(有限体积法)场论和张量李寿英湖南大学风工程试验研究中心二零壹肆年一、场论1.1场的定义与分类如果空间中某个区域内定义标量函数或矢量函数,则称定义此空间区域内的函数为场。标量场和矢量场:(,)(,,,)(,)(,,,)rtxyztrtxyztaaa标量场:温度场、压力场、密度场等。矢量场:速度场、力场、电子场等。均匀场和不均匀场:同一个时刻场内各点函数的值都相等,称为均匀场。定常场与不定常场:场内函数值不依赖于时间,即不随时间t的改变而改变,称为定常场。场论是研究标量场和矢量场数学性质的一门数学分支。1.2场的几何表示采用几何方法来表示场有助与直观理解问题。首先研究标量场。若每一时刻场的几何表示都已知,则整个场为已知(若为定常场?)。取任意固定时刻t0,令:00(,)rtconst则称与之对应的曲面为等位面,在等位面上φ值都相等。取不同的φ0值,等到不同的等位面。根据疏密程度可以判断标量函数的变化状况:等位面靠的近的地方函数变化快、靠得远的地方函数变化慢。函数值的改变主要在等位面的法线方向发生,沿切线方向移动时,函数值不变。气象学中的等压线,等温线。结构风工程中也常采用等压线表示风压分布规律。1.2场的几何表示例子:TTU模型屋盖的平均风压系数分布等值线图。1.2场的几何表示现在研究矢量场的几何表示。包括方向和大小,更为复杂。矢量的大小是一个标量,可以采用等位面的形式表示。矢量的方向可采用矢量线来表示。矢量线的定义:线上每一点的切线方向与该点矢量方向重合。作出同一时刻通过场内任意一点M的矢量线(绘图表示)。下面研究矢量线的方程。设dr是矢量线的切向元素,根据矢量线的定义,有:0dar写成直角坐分量形式,则得到矢量线的微分方程:(,,,)(,,,)(,,,)xyzdxdydzaxyztaxyztaxyztt为时间参数。在场内任取一非矢量线的封闭曲线C,通过C上的每一点作矢量线,则这些矢量线所包围的区域称为矢量管。下面研究任一时刻场内每一点领域内的函数变化状况。1.3梯度(标量场不均匀性的量度)在某一时刻t=t0研究标量场φ(r,t0)。在场内任取一点M,过M点作曲线s,有下列极限:0()()limMMMMMM上式表征标量函数φ在M点上沿曲线s方向的函数变化,以偏导数表示,称为方向导数:0()()limMMMMsMM过M有无穷多个方向,每个方向都有对应的方向导数。但各个方向的方向导数都不是相互独立的。研究表明:只要知道过M点的等位面法线方向n上的方向导数∂φ/∂n,其它方向s的方向导数均可表示出来。cos(,)nssn对上式进行证明。1.3梯度(标量场不均匀性的量度)过M点作等位面:过M点取法线方向n。n指向φ增长的方向,在n上取无限邻近的M1点,过M1点做等位面:过M点作任意方向s,和等位面φ=C1,交与M’点,有:1.3梯度(标量场不均匀性的量度)也就是说:任意方向s上的方向导数,可以通过∂φ/∂n,及s与n之间夹角余弦来表示。沿法线方向的方向导数(大小为∂φ/∂n,方向为n)的矢量称为标量函数φ的梯度。gradnn梯度描述了M点领域内标量函数的变化状况,是标量场不均匀性的量度。任意s方向的方向导数可表述为:0cos(,)gradnsgradss因此,s方向的方向导数等于梯度矢量在s方向的投影。梯度也可以理解为变化最快的方向导数!在直角坐标系中,梯度可分别投影与x、y、z三个方向:gradxyxijk1.3梯度(标量场不均匀性的量度)总结起来,梯度的主要特性如下:梯度gradφ描写了场内任一点M领域内函数φ的变化状况,它是标量场不均匀性的量度。梯度gradφ的方向与等位面的法线重合,且指向φ增长的方向,大小是n方向上的方向导数∂φ/∂n。梯度矢量gradφ在任一方向s上的投影等于该方向的方向导数。梯度gradφ的方向,即等位面的法线方向,是函数φ变化最快的方向。梯度gradφ在直角坐标系中的表达式为:gradxyxijk梯度的两个定理:定理1:定理2:利用两个性质,可以通过全微分和线积分求函数φ的梯度或研究梯度性质。1.4矢量的通量、散度、奥高定理下面来介绍矢量场不均匀性的表述。取一曲面S,在S面上取一面积元素dS,在dS上任取一点M,作S面的法线。若曲面封闭,则取外法线为正方向;若不封闭,则可任取正方向。n为S面上法线方向的单位矢量,a表M点上的矢量函数的值,则:cos(,)cos(,)cos(,)nxyzaanxanyanzan为a在法线方向的投影,定义矢量a通过面积元dS的通量为andS,则沿曲面S积分,可得矢量a通过S面的通量:nSadS定义面积矢量dS是大小为dS、方向为法线正方向的量,则通量表达式可表示为如下形式:ddSSncos(,)cos(,)cos(,)dSnxdydzdSnydzdxdSnzdxdycos(,)cos(,)cos(,)()nSSSxyzxyzSSadSdSdanxanyanzdSadydzadzdxadxdyanaS1.4矢量的通量、散度、奥高定理若曲面为封闭曲面,采用积分号上加一小圆圈方法表示矢量a通过S面的通量:nSadS取任意M点,以体积V包之,V的界面为S,作矢量a通过S的通量,然后除以体积V,令体积V无限收缩于M点,得极限:0limnSVadSV若此极限存在,定义其为矢量a的散度(奥高公式的微分形式):0limnSVadSdivVa矢量a的散度是对单位体积而言,矢量a通过体积元V的界面S的通量。是一个标量。下面研究散度在直角坐标系中的具体表达式。设矢量函数a的三个分量ax、ay、az具有连续的一阶偏导数,利用奥高定理:1.4矢量的通量、散度、奥高定理因为体积分中的被积函数是连续的,根据中值公式,上式可改写为:cos(,)cos(,)cos(,)()nxyzSSyxzVadSanxanyanzdSaaadVxyz()yxznQSaaaadSVxyzQ是体积V中的某一个点,下标Q表示函数在该点的取值,可得散度的为:00limlim()nySxzQVVadSaaadivVxyza当V向M点收缩,Q点最后与M点重合,故得:yxzaaadivxyza以上证明矢量的散度的极限确实存在。通量可表示为(奥高公式的积分形式):nSVadSdivdVa1.5无源场及其性质若diva=0,则该矢量场称为无源场或管式场。具有如下性质:1、无源矢量a经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值。•如图所示,给定一矢量管,任取该矢量管的两横截面∑及∑1,两横截面之间的矢量管侧面为∑’,对和三个封闭曲面围成的体积,有:nSVadSdivdVa0nSadS10nnnadSadSadS1nnadSadS•上式表明:矢量a经过矢量管任一截面上的通量保持同一数值。2、矢量管不能在场内发生或终止。一般来说,他只可能延伸至无穷,靠在区域边界上或自成封闭管路。(这是上一性质的推论)1.5无源场及其性质3、无源矢量a经过张于一已知周线L的所有曲面S上的通量均相同,亦即此通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。•设S和S1是任意两个张于周线L上的曲面,S和S1组成一封闭曲面设此封闭曲面所包围的体积为V,应用奥高定理,10nnVSSdivdVadSadSa1nnSSadSadS•应该指出,该性质仅在特定的区域内成立,在此区域内,任一球面形曲面不超出此区域而缩成一点。1.6矢量的环量、旋度、斯托克斯定理给定一矢量场a,在场内任取一曲线L,作线积分:()xyzLLdadxadyadzar为矢量a沿曲线L的环量。若曲线L为封闭曲线,则在积分符号中加小圆圈:()xyzLLdadxadyadzar设M是场内一点,在M点附近取无限小封闭回线L,取定某一方向为L的正方向,设张于L上的曲面S,S的法线方向n0(由右手螺旋系统确定)。作矢量a沿曲线L的环量并除以曲面面积S,令L向M点收缩,使曲面矢量S=Sn0,大小趋于零,方向趋于某固定方向n。于是有如下极限:0limLSdSar定义矢量a的旋度矢量rota在n方向的投影为(微分形式的斯托克斯公式):0limLnSdrotSara1.6矢量的环量、旋度、斯托克斯定理证明上述极限存在。设矢量a的三个分量具有连续一级偏导数,利用斯托克斯公式,有:()()cos(,)()cos(,)()cos(,)xyzLLyyxxzzSdadxadyadzaaaaaanxnynzdSyzzxxyar利用中值公式,有:()cos(,)()cos(,)()cos(,)yyxxzzLQaaaaaadSnxnynzyzzxxyar其中Q是S面上的一点。则a的沿n方向的旋度可表示为:()cos(,)()cos(,)()cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)yyxxzznxyzaaaaaarotnxnynzyzzxxyrotnxrotnyrotnzaaaa1.6矢量的环量、旋度、斯托克斯定理x、y、z方向的旋度可分别表示为:yyxxzzxyzaaaaaarotrotrotyzzxxyaaa旋度rota可写成:xyzrotxyzaaaijka得到不依赖于坐标系选择的斯托克斯公式(积分形式):nLSSdrotdSrotdaraaS1.7无旋场及其性质rota=0的矢量场为无旋场。无旋场和位势场是等价的。若a为位势场:grada则根据位势场的公式,直接微分得:()0rotrotgrada反之,若rota=0,为无旋场,则由斯托克斯公式有:0LSdrotdaraS其中L为任意周界,于是a沿任意封闭曲线L的线积分为零,根据1.3中定理2:grada等价性证明完毕。1.8基本运算公式a)微分公式1()2()3()()4()5()6()7()8()9()()(gradgradgradgradgradgradgradFFgraddivdivdivdivdivgraddivrotrotrotrotrotrotrotgradrotababaaaabbaabababaaaabbaa、、、、、、、、、)divdivbabba1.8基本运算公式a)微分公式210()()()11()212()13()014()015()()16()17()2gradrotrotgra
本文标题:场论与张量
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