专题训练(三) 平行四边形中的动态问题

八年级数学备课组1专题训练(三)平行四边形中的动态问题班别姓名（教材P68习题第13题的变式与应用）【原题】(人教版八年级下册教材第68页第13题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．八年级数学备课组22．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD?(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．3．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？(2)若BC⊥AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长．八年级数学备课组34．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．(1)作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．备用图八年级数学备课组45．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．八年级数学备课组5参考答案【例】(人教版八年级下册教材第68页第13题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？【解答】①设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，∵AP＝t，CQ＝3t，DP＝24－t，∴DP＝CQ.∴24－t＝3t.∴t＝6，即经过6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQ∥CD，且PQ＝CD.②设经过ts时，PQ＝CD，即四边形PQCD是等腰梯形，∵AP＝t，BQ＝26－3t，∴t＝26－3t＋2，t＝7.综上所述当t＝6s或7s时，PQ＝CD.【方法归纳】根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解．1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．解：由题意可知，AP＝t，CQ＝2t，CE＝12BC＝8.∵AD∥BC，∴当PD＝EQ时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．当2t＜8，即t＜4时，点Q在C、E之间，如图甲．此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CE－CQ＝8－2t，由6－t＝8－2t得t＝2.当82t16，且t6，即4t6时，点Q在B、E之间，如图乙．此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CQ－CE＝2t－8，由6－t＝2t－8得t＝143.∴当运动时间为2s或143s时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．八年级数学备课组6图甲图乙2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD?(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．解：(1)设P，Q两点从出发开始到第x秒时，PQ∥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即AP∥DQ.∵PQ∥AD，∴四边形APQD是平行四边形．∴AP＝DQ.∴3x＝25－2x.解得x＝5.答：P，Q两点从出发开始到第5秒时，PQ∥AD.(2)设P，Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米，∵BP＝25－3a，CQ＝2a，∴根据梯形面积公式得：12(25－3a＋2a)·8＝84.解得a＝4.答：P，Q两点从出发开始到第4秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．3．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？(2)若BC⊥AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长．解：(1)当t＝7秒时，四边形BPDQ为矩形．理由如下：当t＝7秒时，PA＝QC＝7，∵AC＝6，∴CP＝AQ＝1.∴PQ＝BD＝8.∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝8，AC＝6，∴AO＝CO＝3.∴BO＝DO＝4.∴OQ＝OP＝4.∴四边形BPDQ为平形四边形．∵PQ＝BD＝8，∴四边形BPDQ为矩形．(2)由(1)得BO＝4，CQ＝7，∵BC⊥AC，∴∠BCA＝90°.∴BC2＋CQ2＝BQ2.∴BQ＝56＝214.八年级数学备课组74．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．(1)作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQRA是矩形？(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．备用图解：(2)如图1，由题意得：AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t.要使四边形PQBA是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC即AP∥BP，只需满足AP＝BQ即t＝18－2t，解得t＝6，因此，当t＝6秒时，四边形PQBA是矩形．(3)不存在，理由：如图2，要使四边形PQCD是平行四边形，已有AD∥BC即DP∥CQ，只需满足DP＝CQ即12－t＝2t，∴t＝4时，四边形PQCD是平行四边形，但DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，∴按已经速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形．八年级数学备课组85．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．解：(1)∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线．∴ME∥PC，EN∥PD.∴四边形PMEN是平行四边形．(2)当AP＝5时，在Rt△PAD和Rt△PBC中，AP＝BP，∠A＝∠B，AD＝BC，∴△PAD≌△PBC(SAS)．∴PD＝PC.∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴NE＝PM＝12PD，ME＝PN＝12PC.∴PM＝ME＝EN＝PN.∴四边形PMEN是菱形．(3)四边形PMEN可能是矩形．若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°.设PA＝x，PB＝10－x，则DP＝42＋x2，CP＝42＋（10－x）2.∵DP2＋CP2＝DC2，即16＋x2＋16＋(10－x)2＝102，∴x2－10x＋16＝0.解得x＝2或x＝8.故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形．