不等关系与大小比较

3.1不等关系和不等式3.1.1不等关系和大小比较1．实数的大小顺序实数与数轴上的点是的，在数轴上，某一点对应的实数总比它的的点对应的实数大．一一对应左边新课讲解2．比较实数a，b大小的依据(1)文字叙述如果a－b是，那么ab；如果a－b是，那么a＝b；如果a－b是，那么ab，反之也成立．(2)符号表示a－b0⇔ab；a－b＝0⇔ab；a－b0⇔ab.正数零负数＝1．不等关系与不等式有何区别？提示：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“”，“”，“≠”，“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“ab”，“ab”，“a≠b”，“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．概念理解2．你能用数学符号表示下表中的不等关系吗？文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于至少大于等于不少于小于等于不多于≥≥≤≤≥＜≤类型一用不等式(组)表示不等关系[例1]两种药片的有效成分如下表所示.成分药片阿司匹林(mg)小苏打(mg)可待因(mg)A(1片)251B(1片)176例题讲解若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小苏打，28mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．[解]设提供A药片x片、B药片y片．由题意，得2x＋y≥12，5x＋7y≥70，x＋6y≥28，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.1.一个盒子中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式将题中的不等关系表示出来．跟踪练习解：列不等式组，涉及到“至少”、“至多”问题，要用到“≥”或“≤”，那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件。据题意可得y2≤z≤x3y＋z≥55(x，y，z∈N＋)．2.某人有一幢楼房，室内面积共180m2,拟分隔成两类房间作为旅客客房.大房间每间面积为18m2,可住游客5人,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15m2,可住游客3人,每名游客每天住宿费50元;装修大房间每间需1000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修.写出满足上述所有不等关系的不等式组.解：设装修大、小客房分别有x间、y间，则即18x15y1801000x600y8000,xNyN6x5y605x3y40.xNyN类型二利用作差法比较大小[例2]已知abc0，试比较a－cb与b－ca的大小．[解]a－cb－b－ca＝aa－c－bb－cab＝a2－ac－b2＋bcab＝a2－b2－a－bcab＝a－ba＋b－cab.因为abc0，所以a－b0，ab0，a＋b－c0.所以a－ba＋b－cab0，即a－cbb－ca.1.已知a0，试比较a与1a的大小．解：∵a－1a＝a2－1a＝a－1a＋1a，∵a0，∴当a1时，a－1a＋1a0，有a1a；当a＝1时，a－1a＋1a＝0，有a＝1a；跟踪练习当0a1时，a－1a＋1a0，有a1a.综上可知，当a1时，a1a；当a＝1时，a＝1a；当0a1时，a1a.类型三利用作商法比较大小[例3]设a0，b0，且a≠b，比较aabb与abba的大小．[解]aabbabba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b，当ab0时，ab1，且a－b0，∴(ab)a－b1.即aabbabba；当ba0时，0ab1，且a－b0，∴(ab)a－b1.即aabbabba.综上知：aabbabba.1.若0ba1，比较ab与ba的大小．跟踪练习2.若abc0，求证：(1)acbcbacbacba(2)3)(cbacbaabccba类型四创新应用问题[例4]规定A⊕B＝A2＋B2，A⊖B＝A·B，A，B∈R，若M＝a－b，N＝a＋b，a，b∈R，判断M⊕N与M⊖N的大小．[解]M⊕N＝M2＋N2＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2a2＋2b2，M⊖N＝M·N＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2，M⊕N－M⊖N＝2a2＋2b2－(a2－b2)＝a2＋3b2≥0，∴M⊕N≥M⊖N.1.若规定abcd＝ad－bc，则a－bba________a－abb(a，b∈R，a≠b)．(用“”，“＝”，“”填空)跟踪练习解：由题意得：a－bba＝a2＋b2，a－abb＝2ab，∴a2＋b2－2ab＝(a－b)20(a≠b)，∴a－bbaa－abb.答案：[例5]设x＞0,a＞0且a≠1，试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.解:由于对数的真数应大于0,则x的范围为0＜x＜1.方法一:|loga(1-x)|-|loga(1+x)|lg1xlg1x.lgalga∵0＜x＜1,∴1＜1+x＜2,0＜1-x＜1.∴lg(1+x)＞0，lg(1-x)＜0.∴∵0＜1-x2＜1,∴lg(1-x2)＜0,∵|lga|＞0,∴＞0.∴|loga(1-x)|＞|loga(1+x)|.2lg1xlg1xlg1xlg1xlg1x.lgalgalgalga2lg1x|lga|方法二:由于|loga(1-x)|＞0，|loga(1+x)|＞0.∴=|log(1+x)(1-x)|=-log(1+x)(1-x)=log(1+x).∵0＜1-x2=(1-x)(1+x)＜1.∴＞1+x,且1+x＞1.∴log(1+x)＞log(1+x)(1+x)=1.∴|loga(1-x)|＞|loga(1+x)|.aalog1x|log(1x)|11x11x11x1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为()A．MNB．M＝NC．MND．与x有关随堂练习解析：∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1＝x2－x＋14＋34＝(x－12)2＋340.∴MN.答案：A2．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()A．v≤120km/h或d≥10mB.v≤120km/hd≥10mC．v≤120km/hD．d≥10m答案：B3．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．解析：M－N＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋340∴MN答案：MN4．(2012·烟台高二月考)若需在长为4000mm圆钢上，截得长为698mm和518mm的两种毛坯分别为x，y个，则x，y应满足的不等关系为________．解析：由题意可知，x，y应满足以下条件．698x＋518y≤4000，x≥0，y≥0，x，y∈N.5．在日常生活中，“糖水加糖更甜”，即加糖溶化后，糖水的浓度变大了．若a克糖水中含b克糖，再加m克糖溶化后，则糖水更甜，你能用一个不等式来表示这个关系吗？解：加糖前糖水浓度为ba，加糖后糖水浓度变为b＋ma＋m，根据题意，有bab＋ma＋m(ab0，m0)．6．若a＞0，13aab，比较a,b,3的大小.3.1.2不等式的性质不等式的性质(1)对称性：ab⇔.(2)传递性：ab，bc⇒.(3)可加性：①ab⇒a＋cb＋c.②ab，cd⇒.baaca＋cb＋d新课讲解(4)可乘性：①abc0⇒acbc.②abc0⇒acbc.③ab0cd0⇒acbd.(5)可乘方(开方)性①可乘方性：ab0⇒anbn(n∈N，且n≥1)．②可开方性：ab0⇒nanb(n∈N，且n≥2)．(6)倒数性质ab，ab0⇒ba111．两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗？提示：不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需要求差或商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相加或相乘．知识理解2．若ab0，当n0时，anbn成立吗？提示：不成立．如当a＝3，b＝2，若n＝－1，则3－1＝132－1＝12.3．ab，则1a1b成立吗？提示：不一定成立．ab0，则1ab0，又ab，∴a×1abb×1ab，即1b1a，从而1a1b成立；ab0不成立。类型一利用不等式的性质判断命题的真假[例1]对于实数a，b，c，判断下列命题的真假．(1)若ab，则acbc；(2)若ac2bc2，则ab；(3)若ab0，则a2abb2；例题讲解(4)若ab0，则|a||b|；(5)若cab0，则ac－abc－b；(6)若ab，1a1b，则a0，b0.[解](1)由于c的符号未知，因而不能判断ac与bc的大小．故该命题是假命题．(2)∵ac2bc2，∴c≠0，∴c20，∴ab.故该命题为真命题．(3)∵aba0，∴a2ab.又abb0，∴abb2，∴a2abb2.故该命题为真命题．(4)两个负实数，离原点远的数小，绝对值反而大．故该命题为真命题．(5)∵cab0，∴0c－ac－b，∴1c－a1c－b，∴ac－abc－b.故该命题为真命题．(6)由已知条件，得b－a0，1a－1b0，∴b－aab0，∴ab0.又ab，∴a0，b0.故该命题为真命题．1．判断下列说法的对错：(1)cacb且c0⇒ab；(2)若ab，且a＋cb＋d，则cd；(3)ab0，且cd0⇒adbc；(4)ac2bc2⇒ab.跟踪练习解：(1)∵cacb，c0，∴1a1b，当a0，b0时，此式成立，此时推不出ab，∴(1)错．(2)当a＝4，b＝1时，虽然4＋21＋3，但是23，∴(2)错．(3)∵ab0，cd0，∴adbc0，∴adbc成立．∴(3)对．(4)显然c20，∴两边同乘以c2得ab.∴(4)对．类型二利用不等式的性质证明不等式[例2]已知：f(x)＝logax，a1bc0，证明：b－fcb－cc－fba－c.[证明]∵abc，∴a－cb－c0，∴1a－c1b－c.又∵f(b)＝logab,f(c)＝logac，a1，∴f(b)f(c)．又∵1bc0，∴f(b)0,f(c)0.∴0－f(b)－f(c)．又bc0，∴b－f(c)c－f(b)0.又1b－c1a－c0，∴b－fcb－cc－fba－c.1.若ab0，cd0，e0，求证：ea－c2eb－d2跟踪练习证明：∵cd0，∴－c－d0，∴a－cb－d0.∴(a－c)2(b－d)20.∴01a－c21b－d2.又∵e0，∴ea－c2eb－d2.类型三利用不等式的性质求取值范围[例3]已知12a60,15b36，求a－b及ab的取值范围．[解]∵15b36，∴－36－b－15.∴12－36a－b60－15，即－24a－b45.又1361b115，∴1236ab6015.∴13ab4.易错点：由于多次运用不等式相加的性质导致范围扩大[错题展示]设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．[错解]由1≤a－b≤2≤a＋b≤4，得32≤a≤30≤b≤32.所以3≤f(－2)＝4a－2b≤12，即3≤f(－2)≤12.[错因分析]由于多次使用不等式相加的性质，导致a，b的范围扩大，因而f(－2)的范围也扩大．[正解1](待定系数法