高等工程数学科学出版社吴孟达版习题答案18章

文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.1word版本可编辑.欢迎下载支持.《高等工程数学》――科学出版社版习题答案：第一章习题（P26）1．略2．在R4中，求向量a＝[1,2,1,1]T,在基a1＝[1,1,1,1]T,a2＝[1,1,－1,－1]Ta3＝[1,－1,1,－1]Ta4＝[1,－1,－1,1]T下的坐标。解：其坐标为：x＝(5/4,1/4,－1/4，－1/4)T3．在R2×2中，求矩阵12A=03，在基111B=11，211B=10，311B=00，410B=00下的坐标。解：其坐标为：x＝(3,－3,2，－1)T4．试证：在R2×2中，矩阵111B=11，211B=01，311B=10，410B=11线性无关。证明：设k1B1+k2B2+k3B3+k4B4=0000，只要证明k1=k2=k3=k4=0即可。余略。5．已知R4中的两组基：TTTT1234=[1,0,0,0],=[0,1,0,0],=[0,0,1,0],=[0,0,0,1]和TTTT1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]－求由基1234{,,,}到基1234{,,,}的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]xxxx在基1234{,,,}的坐标。解：基1234{,,,}到基1234{,,,}的过渡矩阵是：2056133611211013－向量1234[,,,]xxxx在基1234{,,,}的坐标是：文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.2word版本可编辑.欢迎下载支持.11234205612927331336112923x112190018101373926xxxx－－－－－1＝－－27－－6．设R[x]n是所有次数小于n的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x)=1+2xn－1在基{1，(x－1)，(x－1)2，(x－1)3，….，(x－1)n－1}的坐标。解：所求的坐标是：（3，111112,...,2,...,2knnnnCCC）T7．已知TTTT1212=[1,2,1,0],=[-1,1,1,1],=[2,-1,0,1],=[1,-1,3,7]，求V1＝12212{,}V={,}spanspan与的和与交的基和维数。解：V1＋V2的一组基为TTT121=[1,2,1,0],=[-1,1,1,1],=[2,-1,0,1]，所以维数为3V1∩V2的一组基是：123[5,2,3,4]T，所以维数为1。8．设T是n维线性空间V上的一个线性变换，对某个∈V，有Tk－1（）≠0，Tk（）＝0。试证：21,(),(),...,()kTTT线性无关。证明：设21123()()...()0kkxxTxTxT………………（*）下证123...0kxxxx即可。对（*）两边的向量作线性变换：Tk－1，根据Tk－1（）≠0，Tk（）＝0，得到10x由此（*）变为2123()()...()0kkxTxTxT……………..（**）对（**）两边作线性变换：Tk－2，根据Tk－1（）≠0，Tk（）＝0，得到20x依次进行，得到123...0kxxxx，即21,(),(),...,()kTTT线性无关。文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.3word版本可编辑.欢迎下载支持.9．设n维线性空间V上线性变换T，使对V中任何非零向量都有Tn－1（）≠0，Tn（）＝0。求T在某一基下的矩阵表示。解：任取V中一非零向量，因Tn－1（）≠0，Tn（）＝0，所以由第8题的结果，有21,(),(),...,()nTTT是V中的一组基。则T在此基下的矩阵：0,0,......,0,01,0,.......,0,00,1,.......,0,0.................0,0,......,1,00,0,......,0,010．设T是线性空间R3的线性变换，它在R3中基123{,,}下的矩阵表示是：A＝123103215求T在基112123123{,,}下的矩阵表示。解：T在基112123123{,,}下的矩阵表示是：B＝24434623811．设T在基123{[1,1,1],[1,0,1],=[0,1,1]}TTT下的矩阵表示是：A＝101110121（1）求T在基123{[1,0,0],[0,1,0],=[0,0,1]}TTT下的矩阵表示。（2）求T的核和值域。（3）求T的特征值和特征向量。解：（1）T在基123{[1,0,0],[0,1,0],=[0,0,1]}TTT下的矩阵表示是：文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.4word版本可编辑.欢迎下载支持.B＝110101111112101110011220111121101302（2）核空间N（T）＝{(0,0,0)T}值域R（T）＝R3。（3）特征值为：1232,(17)/2,(17)/2ii对应的特征向量是：123037372,44166iixxx12．求矩阵A的列空间R（A）＝{y∈R3|y＝Ax，x∈R3}和核空间N（A）＝{x∈R3|Ax＝0}。其中：（1）A＝116042116（2）A＝0241453170510解：（1）列空间为R（A）＝11{0,4}11span，核空间为N（A）＝11{1}2span（2）列空间为R（A）＝0214{,}3105span，核空间为N（A）＝3{2}1span13．设V是一线性空间。123{,,}是V的一组基，线性变换T在基123{,,}在的矩阵B分别如下，求T的特征值和特征向量，并判断T是否可对角化。文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.5word版本可编辑.欢迎下载支持.（1）010440216－－,(2)011101101,（3）001010001，（4）0210330－2－1－解：（1）特征值为：1232特征向量是：12102,001xx不可对角化（2）特征值为：1232,1特征向量是：1231101,0,1111xxx可对角化（3）特征值为：1231,1特征向量是：1231100,0,1110xxx可对角化（4）特征值为：1230,14,14ii特征向量是：略可对角化14．略15．设欧氏空间P2（t）中的内积为10,()()fgftgtdt（1）求基{1，t，t2}的度量矩阵。（2）采用矩阵形式计算f（t）＝1－t＋t2与g（t）＝1－4t－5t2的内积。（3）用Schmidt正交化方法求P2（t）的标准正交基。解：（1）111220001,1111,1,dtttdtttdt11＝，＝，＝，23111223224000,,,tttdttttdttttdt111＝，＝，＝，345所以度量矩阵为文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.6word版本可编辑.欢迎下载支持.11123111234111345（2）1112311119,(1,1,1)442345111345fg（3）所以标准正交基是：12231,123()2156ttt（）6《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第二章）P501．求下列矩阵的特征值、代数重数核几何重数，并判断矩阵是否可对角化（1）110020112－（2）011121213－－（3）411030102－解：（1）特征值：1231(1)()＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数和几何重数均为2可对角化。1222222223112233231,111,,,212123()21,,61,180156ttttttttttt（）6文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.7word版本可编辑.欢迎下载支持.（2）特征值：1231(1)()＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数为2和几何重数为1不可对角化。（3）特征值：123(1)＝＝＝3代数重数为3、几何重数均为不可对角化。2．求下列矩阵的不变因子、初等因子和Jordan标准形（1）3732524103－－－－－（2）41300210－1（3）1234012300120001（4）3000013000001100002000112－解：（1）不变因子是：123dddi＝1,＝1,＝(-1)(-i)()初等因子是：i(-1),(-i),()Jordan标准形是：1000000ii（2）不变因子是：123ddd3＝1,＝1,＝(-3)初等因子是：3(-3)Jordan标准形是：310031003（3）不变因子是：1234dddd4＝1,＝1,＝1,＝(-1)初等因子是：4(-1)Jordan标准形是：1100011000110001（4）不变因子是：12345ddddd＝1,＝1,＝1,＝(-2)（-3），＝(-1)(-2)（-3）文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.8word版本可编辑.欢迎下载支持.初等因子是：(-2)，（-3），(-1)，(-2)，（-3）Jordan标准形是：10000020000020000030000033．设（1）110A0012－＝22（2）33A613－－1＝－7－11－（3）010A111011＝－－求可逆矩阵P，使得P－1AP是Jordan标准形解：（1）A的特征值为1231＝，＝＝2对应的特征向量是：121,TT＝(，0,-1)＝(0,0,1)二级根向量是：(2)2T＝(-1,1,0)(2)12