材料力学基本公式

材料力学重点及其公式材料力学的任务（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。变形固体的基本假设（1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。应力：dAdFAFpAlim0正应力σ、切应力τ。变形与应变：线应变、切应变。杆件变形的基本形式（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。失效原因：脆性材料在其强度极限b破坏，塑性材料在其屈服极限s时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：ssn，bbn，强度条件：maxmaxAFN，等截面杆AFmax轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：lll1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：ll，AFN。横向应变为：bbbbb1'，横向应变与轴向应变的关系为：'，为横向变形系数或泊松比。胡克定律：当应力低于材料的比例极限P时，应力与应变成正比，即E，这就是胡克定律。E为弹性模量（GPa1=paMPa931010）。将应力与应变的表达式带入得：EAFllEA为抗拉或抗压刚度。静不定(超静定)：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。需要由几何关系构造变形协调方程。扭转变形时的应力，薄壁圆筒扭转202RMe其中)min()(9549)(rnkwpmNMe420dDrRR为圆筒的平均半径。剪切胡克定律：当剪切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比。G.变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dxd。物理关系——剪切胡克定律dxdGG。力学关系PAAAIdxdGdAdxdGdxdGdAT22圆轴扭转时的应力：tpWTITRmax,tW=RIp称为抗弯截面系数;强度条件：][maxtWT，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆324DIP；163DWt（b）空心圆,444413232)(DdDIP;43116DWt(D,d分别是外，内径；Dd)圆轴扭转时的变形：lplpdxGITdxGIT；等直杆：pGITl其中为圆轴的抗弯刚度PGI刚度条件：pGITdxd，][180]['maxmax'maxmaxPpGITGIT，静定梁的基本形式（1）简支梁；（2）外伸梁；（3）；悬臂梁弯曲内力与分布载荷q之间的微分关系)()(xqdxxdFS；xFdxxdMS；xqdxxdFdxxMdS22弯曲变形的两个假设（1）弯曲变形的平面假设，（2）纵向线段间无正应力。弯曲变形的关系：（1）纵向线应y，（2）yEE，（3）zEIM1，为抗弯刚度ZEI（4）zIMy，梁凸的一侧受拉应力，凹的一侧是压应力。正应力强度条件WMIyMzmaxmaxmaxmax，maxyIWz其中W为抗弯截面系数。弯曲切应力的假设（1）切应力方向都平行剪力Fs；（2）切应力沿截面宽度均匀分布，bISFzzs，其中AAZdyS11是横截面的部分面积1A对中性轴的静矩提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩maxM，合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截面形状塑性材料：ct，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。脆性材料：ct，采用T字型或上下不对称的工字型截面。{[t]抗拉许用应力；[t]抗压许用应力}弯曲变形：挠度和转角为刚度条件判断依据即：maxmax,（一）积分法求弯曲变形近似微分方程EIMdxddxd22转角方程为：CdxEIMdxdw;挠曲线方程为：DCXdxdxEIM)(.其中，C，D为常数，等截面梁的EI为常数，积分时可提到积分号外边简化运算。应力和应变分析，强度理论.应力状态：（1）轴向拉伸时斜截面既有正应力也有切应力，2sin2cos2（2）受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公:4'PD,2PD二向应力状态分析—解析法（1）斜截面上的应力2sin2cos22xyyxyx；2cos2sin2xyyx（2）极值应力正应力：yxxy22tan0，22minmax)2(2xyyxyx切应力：xyyx22tan1，22minmax)2(xyyx平面应变2sin22cos22xyyxyx；2cos22sin2)(2xyyx主应变的方向yxxy02tan；22minmax)2()2(2xyyxyx应变的实测:使用应变仪可以着检测出;123但是切应变xy不易测出1112sin22cos22xyyxyx2222sin22cos22xyyxyx3332sin22cos22xyyxyx以上三个方程联立解出;123广义胡克定理，对于各向同性的材料当变形很小且在线弹性范围内时，线应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关，所以广义胡克定理为gGGzxzxyzyzxyxyEzEyExyXZzxyzyx)]([1)]([1)]([1000)]([1)]([12)](1[12133132321zxyzxyEEE时：当六个面都为主应力面为三个主应力的平均值为体积弹性模量单位体积的体积该变量mEKKEEVVV,,)21(33)21(3)(21m3213213211复杂应力状态下的应变能：三应力状态下的应变能密度为213232221d23212mdvdv133221232221332211---61)(6212)21(3,)21(23,21)](2[21212121）（）（）（由此知道所以；叫畸变能密度。由此应变能密度变为长方体而储存的的）体积不变但有正方体（，叫体积改变能密度。应变能）因体积变化而储存的是由两部分组成：（应变能密度密度EEEEEvmmmmv四种强度理论，强度失效的主要形式有两种，即屈服与断裂，相应的强度理论也有两类：一类解释断裂失效的，即最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；另一类是解释屈服失效的，即最大切应力理论和畸变能密度理论。]---[21]---[21]---[21---61)2(61)2(614---22-23)()()(,)(1;2;)1(2132322214213232221213232221213232221d2d231r3313131maxmax321r2321b3213211b11r11b1）（）（）（相当应力。）（）（）（，所以强度条件为：）（）（）（，整理屈服准则得：）（）（）（在任意状态下，由。屈服准则：，相应的畸变能密度为屈服应力）已知对单向拉伸时，（。；即相当应力所以强度条件为：。或。所以屈服准则为）已知单向拉伸时，（。即相当应力所以强度条件为：所以断裂准则：）断裂准则：（。即相当应力所以强度条件断裂准则：rsssssssEEEEE组合变形的叠加原理的条件：（1）服从胡克定理即线弹性形变（2）构件小变形组合变形中重要内容为扭转和弯曲的组合变形，机械工程中轴类零件一边都是受弯扭变形的作用。一边先画出轴的受力模型图，在作出轴的弯矩图和扭矩图，以此定出轴的危险截面和危险点。一般单元体都应力状态都为下图的应力状态。2222minmax4212)2(2两个主应力一正一负，故三个主应力为为负值。。为正值。3210第三或第四强度理论的强度条件为2234r；2243r当为圆轴时:tWT;WM;且WWt.所以化简得][75.0][224223WTMWTMrr压杆的稳定：临界压力crF：使压杆保持微小变形的的最小压力。(压杆又向任何方向失稳的可能，具体问题具体分析)推导临界压力即欧拉公式的几个方程：（1）FM;(2)EIFdxd22;(3)EIFk2.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力的欧拉公式22)(lEIFcr压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.5压杆的长细比或柔度计算公式，il，AIi，对于圆截面时，4Di细长压杆临界应力的欧拉公式22Ecr欧拉公式适用范围（1）大柔度压杆（欧拉公式）：即当1，其中PE21时，22Ecr（2）中等柔度压杆（经验公式）：即当12，其中bas2时，bacr（3）小柔度压杆（强度计算公式）：即当2时，scrAF。(4)对于脆性材料经验公式中s改为b压杆的稳定校核（1）压杆的许用压力：stcrnFF，P为许可压力，stn为稳定安全系数。（2）压杆的稳定条件：FF,即stcrnFFn，n为工作安全因数。能量的方法:在线弹性情况下。（1）轴向拉伸或压缩，应变能EAlFlFV222。单元体应变能密度222E(2)纯剪切：单元体的应变能密度，222G（3）扭转：PeGIlM,应变能PeeGIlMMV222，Me为加载在轴端的外加扭转力偶矩。当扭矩T沿轴线为变量时：可以积分求得应变能：dxGITVlP2（4）弯曲，对于纯弯曲应变能EIlMMVee222,对于横力弯曲积分求出全梁的应变能：dxEIxMVl2)(2