08年高考数学江西卷(理)最后一题研究

08年高考数学江西卷（理）最后一题有点难22．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝x11＋a11＋8axax，x∈(0，＋∞)．（1）当a＝8时，求f(x)的单调区间；（2）对任意正数a，证明：l＜f(x)＜2．令axcxb8,,则第(2)等价于:若a,b,c0,abc=8求证:)1(21111111cba上式不等式(1)与2004年西部奥林匹克最后一题：设a,b,c是正数，求证：2231222222acccbbbaa类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。另外，2003年中国数学奥林匹克第三题：给定正数n,求最小正数λ,使得对于任何),,...2,1)(2,0(nii2212tan...tantann只要,就有ncos...coscos21不大于λ答案:当n≥3,λ=n-1当n=3时,令322212tan,tan,tancba即得(1)右边的等式。江西的宋庆老师说:今天阅卷结束。该题第2小题无人挨边；14分的题全省9分一人，8分二人。由此可知，（2）右边的不等式，江西的考生无人证出，基本上属于废题。所以第（2）小题不宜作高考题。此题也引起了张景中院士的兴趣，在“张景中院士解江西高考压轴题”一贴中命题人陶平生教授的证明：其中对右边不等式的证明思路基本上取自于前面提到的2003年中国数学奥林匹克第三题黄玉民教授解答。22．解：1、当8a时，1131xfxx，求得3121xfxxx，于是当(0,1]x时，0fx；而当[1,)x时，0fx．即()fx在(0,1]中单调递增，而在[1,)中单调递减．（2）.对任意给定的0a，0x，由111()1181fxxaax，若令8bax，则8abx…①，而111111fxxab…②（一）、先证1fx；因为1111xx，1111aa，1111bb，又由42222428abxabxabx，得6abx．所以111111111111fxxabxab32()()(1)(1)(1)abxabaxbxxab9()()(1)(1)(1)abxabaxbxxab1()()1(1)(1)(1)abxabaxbxabxxab．（二）、再证2fx；由①、②式中关于,,xab的对称性，不妨设xab．则02b（ⅰ）、当7ab，则5a，所以5xa，因为111b，11211115xa，此时1112111fxxab．（ⅱ）、当7ab…③，由①得,8xab，181ababx，因为22211[1]114(1)2(1)bbbbbbb所以112(1)1bbb…④同理得112(1)1aaa…⑤，于是1222118ababfxabab…⑥今证明2118abababab…⑦,因为211(1)(1)abababab，只要证(1)(1)8abababab，即8(1)(1)abab，即7ab，据③，此为显然．因此⑦得证．故由⑥得()2fx．综上所述，对任何正数a,x，皆有12fx．说句实在话，该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。2008-07-1221:03scpajmb的发言：确实，陶平生教授是不等式高手，所命那道2005年全国联赛加试第二题，大家还记忆犹新。当然，宋老师也是不等式高手。我的这个证明不是最简单的，发到这里供参考。