柯西不等式习题

1柯西不等式教学题库大全一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba二、二维形式的柯西不等式的变式bdacdcba2222)1(.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba2222)2(.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcba.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bcaddcbabdacdcba三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当kk借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2+b^2+c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3)*(1^2+1^2+1^2)*(a^2+b^2+c^2)就可以用柯西不等式了。基本方法（1）巧拆常数：例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：cbaaccbba9222（2）重新安排某些项的次序：例2：a、b为非负数，a+b=1，Rxx21,求证：212121))((xxaxbxbxax（3）改变结构：例3、若abc求证：cacbba411（4）添项：例4：Rcba,,求证：23bacacbcba【1】、设6),2,1,2(ba，则ba之最小值为________；此时b________。答案：18;)4,2,4(解析：baba∴18ba∴1818baba之最小值为18，此时)4,2,4(2ab【2】设a(1，0，2)，b(x，y，z)，若x2y2z216，则ab的最大值为。【解】∵a(1，0，2)，b(x，y，z)∴a．bx2z由柯西不等式[120(2)2](x2y2z2)(x02z)2516(x2z)245x4545a．b45，故a．b的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a，(,,)bxyz，已知56b，则(1)ab的最大值为多少？(2)此时b？Ans：(1)28：(2)(2,4,6)2【4】设a、b、c为正数，求4936()()abcabc的最小值。Ans：121【5】.设x，y，zR，且满足x2y2z25，则x2y3z之最大值为解(x2y3z)2(x2y2z2)(122232)5．1470∴x2y3z最大值为70【6】设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y2z之最小值为时，(x，y，z)解(x2y2z)2(x2y2z2)[12(2)222]4．936∴x2y2z最小值为6，公式法求(x，y，z)此时322)2(26221222zyx∴32x，34y，34z【7】设,,xyzR，22225xyz，试求22xyz的最大值M与最小值m。Ans：15;15mM【8】、设25,,,222zyxzyxR，试求zyx22的最大值与最小值。答：根据柯西不等式)](2)2(1[)221(2222222zyxzyx即259)22(2zyx而有152215zyx故zyx22的最大值为15，最小值为–15。【9】、设622,,,zyxzyxR，试求222zyx之最小值。答案：考虑以下两组向量u=(2,–1,–2)v=(x,y,z)根据柯西不等式222)(vuvu，就有)]()2()1(2[])2()1(2[2222222zyxzyx即)(9)22(2222zyxzyx将622zyx代入其中，得)(936222zyx而有4222zyx故222zyx之最小值为4。【10】设,,xyzR，226xyz，求222xyz的最小值m，并求此时x、y、z之值。Ans：)34,32,34(),,(;4zyxm【11】设x，y，zR，2x2yz80，则(x1)2(y2)2(z3)2之最小值为解：2x2yz802(x1)2(y2)(z3)9，考虑以下两组向量u=(,,)，v=(,,)222)(vuvu[2(x1)2(y2)(z3)]2[(x1)2(y2)2(z3)2]．(222212)(x1)2(y2)2(z3)29)9(29【12】设x,y,zR，若332zyx，则222)1(zyx之最小值为________，又此时y________。3解：332zyx2x3(y1)z()，考虑以下两组向量u=(,,)，v=(,,)解析：1436])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222zyxzyxzyx∴最小值7181,233,2(2)3(31)3231xyztxyzttt∴73t∴72y【13】设a，b，c均为正数且abc9，则cba1694之最小值为解：考虑以下两组向量u=(,,)，v=(,,)222)(vuvu2)432(ccbbaa(cba1694)(abc)(cba1694)．9(234)281cba16949819【14】、设a,b,c均为正数，且232cba，则cba321之最小值为________，此时a________。解：考虑以下两组向量u=(,,)，v=(,,)222)(vuvu2222222)321(])3()2()1][()3()2()[(cbacba∴18)321(cba，最小值为18等号发生于vu//故ccbbaa33221∴cba又232cba∴31a【15】.设空间向量a的方向为，，，0，，，csc29csc225csc2的最小值为。解∵sin2sin2sin22由柯西不等式∴(sin2sin2sin2)[222)sin5()sin3()sin1(](135)22(csc29csc225csc2)81∴csc29csc225csc2281∴故最小值为281【注】本题亦可求tan29tan225tan2与cot29cot225cot2之最小值，请自行练习。【16】.空间中一向量a与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为，，（，，均非象限角），4求222sin9sin4sin1的最小值。解:由柯西不等式)sinsin](sin)sin3()sin2()sin1[(2222222)sinsin3sinsin2sinsin1(2222222)321()sinsin)](sinsin9()sin4()sin1(∵sin2sin2sin22∴236)sin9sin4sin1(22218)sin9sin4sin1(222∴222sin9sin4sin1的最小值18【17】.空间中一向量a的方向角分别为,,，求22292516sinsinsin的最小值。答72利用柯西不等式解之【18】、设x,y,zR，若4)2()1(222zyx，则zyx23之范围为何？又zyx23发生最小值时，x？答案：2222222)2233(])2()1(3][)2()1[(zyxzyx1425231425142523142)523()14(42zyxzyxzyx若142523zyx又tzyx21231∴1425)2(2)2()13(3ttt∴714t∴17143x【19】设ABC之三边长x，y，z满足x2y+z=0及3x+y2z=0，则ABC之最大角是多少度？【解】02302zyxzyxx：y：z=2112：3211：1321=3：5：7设三边长为x=3k，y=5k，z=7k则最大角度之cos=)5)(3(2)7()5()3(222kkkkk=21，∴=120【20】.设x，y，zR且14)3(5)2(16)1(222zyx，求xyz之最大值，最小值。Ans最大值7；最小值3【解】∵14)3(5)2(16)1(222zyx由柯西不等式知5[42(5)222]222)23()52()41(zyx．．．2)52(5)41(4yx2)23(z251(xyz2)25|xyz2|5xyz25∴3xyz7故xyz之最大值为7，最小值为3【21】.求2sin3cossincoscos的最大值与最小值。答.最大值为22，最小值为22【详解】令向量a(2sin，3cos，cos)，b(1，sin，cos)由柯西不等式|a．b||a||b|得|2sin3cossincoscos|222coscos3sin4，22cossin122)cossin1)(cos(sin42222所求最大值为22，最小值为22【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：222222236)sin1sin1sin1)((RCBAcba证明：由三角形中的正弦定理得RaA2sin，所以2224sin1aRA，同理2224sin1bRB，2224sin1cRC于是左边=2222222222236)222()444)((RcRabRaaRacRbRaRcba。【23】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=2200||BACByAx.证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得(A2+B2)［(x-x0)2+(y-y0)2］≥［A(x-x0)+B(y-y0)］2=［(Ax+By)-(Ax0+By0)］2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥2200||BACByAx.当220000BACByAxByyAxx时,取等号,由垂线段最短得d=2200||BACByAx.【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式xzzyyx111≤λ恒成立,求λ的范围.解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得xzzyyx111≤)(21212121zyxyzyxxzyxzzxzyxy623))(111(21222zyxyzyxxzyxz故λ的取值范围是［23,+∞).温馨提示本题主要应用了最值法,即不等式xzzyyx111≤λ恒成立,等价于(xzzyyx111)max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=xzzyyx111的最大值.【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求zyxcba的值.解析:根据已知等式的