数字信号处理第2章.ppt

GuangDongUniversityofTechnology第2章时域离散信号和系统的频域分析《数字信号处理》课程邮箱E-mail:[e-mail]:dsp2013本章主要内容及重点2.1引言2.2序列的傅里叶变换的定义及性质（重点）2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4时域离散信号傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换的关系2.5序列的Z变换（重点）2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性2.1引言信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续时间变量t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。在数字信号处理中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。频域分析是用Z变换或傅里叶变换。数字信号处理的傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换。它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章内容是数字信号处理的基础。2.2序列的傅里叶变换的定义及性质2.2.1序列傅里叶变换的定义定义为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(FourierTransform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：()()jjnnXexne(2.2.1)()nxn(2.2.2)序列的傅里叶反变换(IFT,InverseFourierTransform)定义为：(2.2.3)deeXeXIFTnxnjjj)(21)((2.2.1)和(2.2.3)式组成一对傅里叶变换公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要条件如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来（后面的章节会介绍）。例2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT解(2.2.4)设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示。)2/sin()2/sin()()(11)()(2/)1(2/2/2/2/2/2/0NeeeeeeeeeeenReXNjjjjNjNjNjjNjNnnjnnjNj图2.2.1R4(n)傅里叶变换之后频域的幅度与相位曲线2.2.2序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在定义(2.2.1)式中，n取整数，因此下式成立(2)()(),jjMnnXexneM为整数(2.2.5)因此序列的傅里叶变换X(ej)是频率ω的周期函数，周期是2π。图2.2.2cosωn的波形……－1012341－1……0123456nn(a)(b)1π2π)12(McosMncosn序列的傅里叶变换的高频与低频：ω=0，2，4，…表示低频ω=0，，3，…表示高频由于周期性，一般只分析-~+或者0~2之间的频谱就行了变化小，序列有低频分量变化大，序列有高频分量2.线性11221212()[()],()[()],[()()]()()jjjjXeFTxnXeFTxnFTaxnbxnaXebXe那么设式中a,b为常数3.时移与频移设X(ejω)=FT［x(n)］，那么(2.2.6)0000([()]()[()]()jnjjnjFTxnneXeFTexnXe(2.2.7)(2.2.8)*4.FT的对称性（了解）在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下式：xe(n)=x*e(-n)(2.2.9)则称xe(n)为共轭对称序列。)()]([**jeXnxFT)()]([jeXnxFT5.时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(2.2.32)该定理说明，两序列卷积的FT，服从相乘的关系。对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应FT。因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式(1.3.7)计算，也可以在频域按照(2.2.32)式，求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。6.频域卷积定理设y(n)=x(n)·h(n)，则(2.2.33)证：交换顺序：()11()()*()()()22()()()1()[()]2jjjjjjjnnjjnjnnYeXeHeXeHedYexnhnexnHeede)(*)(21)()(21])([)(21)()()(jjjjnnjjjeHeXdeXeHdenxeHeY7.帕斯维尔(Parseval)定理证：帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|X(ejω)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2π)。222**1()(21()()()()[())]2jnjjnnnnxnxedxnxnxnxnXeed(2.2.34)2*1()()211()()()22jjnnjjjXexnedXeXedXed一致收敛表2.2.1序列傅里叶变换的性质2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.3.1周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数(2.3.1)式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和2jmnNe)(~nxkknNjkeanx2)(~因此上式中，k和n均取整数，当k或者n变化时，是周期为N的周期函数：即ak也是周期序列：ak=ak+lN(2.3.2)(2.3.3)mkmkNeeaeeaenxNnnmkNjNnnmkNjkkmnNjNnkknNjkmnNjNn,0,)(~10)(210)(22102210取整数leeknNjnlNkNj,2)(2knNje2kenxNaknNjNnk,)(~1210kenxkXNakXknNjNnk,)(~)(~)(~210令上式中也是一个以N为周期的周期序列，称为的离散傅里叶级数，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。如对(2.3.4)式两端乘以，并对k在一个周期中求和，得到将(2.3.4)式和(2.3.5)式重写如下：2jklNe(2.3.5))(~kX)(~nxknNjNknlnlNeNnNkknlNjklNjNkNnknNjklNjNkekXNnxenxeenxekXNnknlNj210,0,1010)(2210102210)(~1)(~)(~)(~)(~10)(2knNjNkknNjNnekXNkXnxenxnxkX210210)(~1)](~[IDFS)(~)(~)](~[DFS)(~(2.3.6)(2.3.7)(2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对DFS。(2.3.5)式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…,N-1。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。例2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求的DFS。解按照(2.3.4)式其幅度特性如图2.3.1(b)所示。~()xn~()xnkkeeeeeeeeeeeenxenxkXkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjknjnknjn8sin2sin)()(1111)(~)(~)(~8388822244444308270图2.3.1例2.3.1图2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，，其傅里叶变换是在Ω=Ω0处的单位冲激函数，强度是2π，即对于时域离散系统中，，2π/ω0为有理数，0()jtaxte00()[()]2()jtjtaaXjFTxteedt(2.3.8)njenx0)(rnjjnjnrjnjreFTeXeree)2(2][)(,0)2(0000的傅里叶变换：取整数(2.3.9)上式表示复指数序列的FT是在ω0±2πr处的单位冲激函数，强度为2π，如图2.3.2所示。对于一般周期序列的FT如下式图2.3.2的FT0jne)(~nxknNjNnkjenxkXkNkXNeX210)(~)(~,)2()(~2)(式中表2.3.2基本序列的傅里叶变换例2.3.2求例2.3.1中周期序列的FT。解将例2.3.1中得到的代入(2.3.10)式中得到其幅频特性如图2.3.3所示。~()Xk38sin(/2)()()4sin(/8)4jkjkkXeekk图2.3.3例2.3.2图分析：对比图2.3.1，对于同一个周期信号：其DFS和FT分别取模的形状是一样的；不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。例2.3.3令，2π/ω0为有理数，求其FT。解：将用欧拉公式展开按照(2.3.9)式，其FT推导如下：上式表明cosω0n的FT，是在ω=±ω0处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行延拓，如图2.3.4所示。(2.3.11)nnx0cos)(~)(~nxrrjrrrrnFTeX)]2()2([)]2()2([221][cos)(00000)(21)(~00njnjeenx图2.3.4cosω0n的FT0ω0－ω0X(ejω)ωπ2πππ22.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述：这里t与Ω的定义域均在±∞之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号——连续信号和采样信号，用(1.5.2)式描述它们之间的关系：()()1()()2jtaajtaaXjxtedtxtXjedt(2.4.1)(2.4.2)naanTtnTxtx)()()(ˆ(1.5.2)采样信号和连续信号xa(t)，由采样定理(1.5.5)式描述它们各自傅里叶变换间的关系：如果时域离散信号(或称序列)x(n)，是由对模拟信号xa(t)采样产生的，即：x(n)=xa(nT)(2.4.3)上式中n取整数，否则无定义。x(n)的一对傅里叶变换用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示：)(ˆtxaksaajkjXTjX)(1)(ˆ()()1()()2jjnnjjnXexnexnXeed(2.2.4)(1.5.5)X(ejω)与Xa(jΩ)、数字频率ω与模拟频率Ω(f)间关系分析已知x(n)=xa(nT)，将t=nT代入(2.4.2)式中，得到(2.4.4)