二面角的平面角的求法

1★二面角的平面角的求法：⒈定义法：在二面角的棱上找一点（特殊点），在两个半平面内分别作垂直与棱的射线。如图，在二面角a的棱a上任取一点，在平面内过点作aOA，在平面内过点作aBO，则AOB为二面角a的平面角。⒉垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角。如图，已知二面角l，过棱上一点作一平面，使l，.,OBOAOBlOAlOBOA,,,AOB为二面角l的平面角。⒊垂线法：※该法也就是利用三垂线定理或逆定理来寻找二面角的平面角，是最常用的一种方法。由一个半平面内异与棱上的点A向另一个半平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为，连结AO，则AOB为二面角的平面角。如图，已知二面角l，自平面内一点A作AB于B，由点B作BOl于O，连结AOAO为平面的斜线，BO为AO在平面内的射影AO,lAOB为二面角l-的平面角。⒋射影法：被投影面投影面SScos⒌向量法：（1）⑴AB,CD分别是二面角l的两个面内与棱AC垂直的异面直线，则二面角的大小为CDAB,=arccos||||CDABCDAB.[（2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，n1，n2＝θ，则二面角α－l－β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝|n1·n2||n1|·|n2|.★★利用二面角的两个面的法向量求解※法向量的夹角与二面角的大小相等或互补①当法向量21nn与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量夹角②当法向量1n与2n方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量夹角的补角，1．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．1202.如图，四棱锥S­ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB＝3，求平面ASD与平面BSC所成二面角的大小．23.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．4.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1-ED-F的正弦值．5.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为22a，D是棱A1C1的中点．(1)求证：BC1∥平面AB1D；(2)求二面角A1－AB1－D的大小；6．(12分)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.(1)求a的值；(2)求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．37.．如图，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝22，CF∥AF，AC⊥CE，ME→＝2FM→，(1)求证：CM∥平面BDF；(2)求异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小；(3)求二面角A－DF－B的大小．8.(2010·湖北)如图所示，在四面体A－BOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.(1)设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算ABAQ的值；(2)求二面角O­AC­B的平面角的余弦值．9．(14分)已知四棱锥S­ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；(2)当SAAB的值为多少时，二面角B­SC­D的大小为120°.