2018学年八年级数学湘教版上册【能力培优】第二章三角形全套练习题(含答案)

第2章三角形2．1三角形专题一三角形的三边关系1．两根木棒的长分别是5㎝和7㎝，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么其长的取值情况有（）A.3种B.4种C.5种D.6种2.已知△ABC的周长为19，且满足1,2abcb，则a___________.3.已知△ABC的三边长b、c满足2(2)30bc，且42a.求:(1)△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由.4.一个等腰三角形的周长是15cm，底边与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长．专题二三角形的内角与外角5．已知△ABC中，060B，,CA且222()()()CAB，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定6.如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角分别记为α，β，γ，若α：β:γ=3:4:5，则∠A：∠B：∠C=()A.3:2:1B.1:2:3C.3:4:5D.5:4:37.如图是一个六角星，其中,60AOEFEDCBA.8.如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．（1）分别计算出当∠A为70°，80°时∠A1的度数；（2）根据（1）中的计算结果写出∠A与∠A1之间等量关系；（3）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、An，请写出∠An与∠A的数量关系；状元笔记【知识要点】1．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边．2．三角形的三线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，这个顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线；在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线；三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫作三角形的中线．3．三角形的内角和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形存在的条件是最短的两边之和大于第三边．2．三角形的高、角平分线、中线都是线段．3．三角形的内角和等于180°，外角和是360°．【方法技巧】1．解与三角形的边有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法(方程、不等式)，按边或角对三角形进行分类．2．解三角形中的面积的问题时，常利用同（等）底同（等）高的几个三角形的面积相等进行思考．3．解三角形的边与角问题时，常用的数学思想有转化思想、数形结合思想、方程思想等，把已知条件转化到某一三角形中进行思考或用方程模型来解决．参考答案：1.Ｂ解析：2㎝＜第三边长＜12㎝，又因为第三根木棒为偶数，所以第三边长为4㎝或6㎝、8㎝、10㎝，所以取值有4种情况，故选B.2.5解析：由题意可知：19abc，又因为1,2abcb，所以1219bbb，解得6b，所以5a.3.4.解：设底边长为xcm，则腰长是2-15xcm，当腰比底大时，2-15x－x=3，∴x=3，2-15x＝6．当腰比底小时，x－2-15x=3，∴x=7，2-15x=4．答：这个三角形的三边长为3㎝，6㎝，6㎝或7㎝，4㎝，4㎝.5.A解析：设xAxC120,则，又因为222()()()CAB，所以222)60()120(xx，解得ｘ＝７５°，所以75C，45120xA，所以此三角形为锐角三角形，故选A.6.Ａ解析：设α=3x，β=4x，γ=5x，根据外角和为360°，所以345360xxx，解得30x，所以α=90，β=120，γ=150，所以∠A=90、∠B=60、∠C=30，所以∠A：∠B：∠C=90：60：30=3：2：1，故选A.7.１２０°[来源:]解析：由外角的性质可知2BF，12D，所以1BFD，又因为160,AOE所以160,AOE所以60DFB，同理可证60ECA，所以120EDCBA.8.解：（1）∵A1C、A1B分别是∠ACD、∠ABC的角平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD；由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD﹣∠ABC，∠A1=∠A1CD﹣∠A1BC，即：∠A1=（∠ACD﹣∠ABC）=∠A；当∠A=70°时，∠A1=35°；当∠A=80°，∠A1=40°．（2）∠A1=∠A．（3）同（1）可求得：∠A2=∠A1=∠A，∠A3=∠A2=∠A，…，依此类推，∠An=∠A．2．2命题与证明专题一定义与命题1．下列语句中，定义的个数有（）①两点之间，线段最短；②过点M作已知直线l的平行线；③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；④两直线平行，同位角相等；⑤单项式和多项式统称为整式.A.1个B.2个C.3个D.4个2．下列语句中属于命题的有（）（1）两点确定一条直线；（2）不许大声喧哗！（3）连接线段MN；（4）两个锐角的和一定是直角；（5）536；（6）不相交的两条直线叫作平行线.A.2个B.3个C.4个D.5个3.下列命题中，原命题和逆命题都是真命题的是_________________________.①相等的角是对顶角；②内错角相等，两直线平行；③如果m是自然数，那么m是有理数；④如果5a，那么5a；⑤如果0ab，那么a、b互为相反数.4.若规定“⊙”是一种运算符号，且2yxyxxy，试计算：(4)(32)的值.专题二反证法与证明5．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（）A．一个三角形中至少有两个钝角B．一个三角形中至多有一个钝角C．一个三角形中至少有一个钝角D．一个三角形中没有钝角6．如图，OP∥QR∥若,ST∠２＝110°，∠３＝120°，∠１＝．7．有一次乒乓球比赛前，甲、乙、丙、丁四名选手预测各自的名次．甲说：“我绝对不会得最后!”乙说：“我不能得第一，也不会得最后!”丙说：“我肯定得第一!”丁说：“那我是最后一名!”比赛揭晓后知道，四人没有并列名次，而且只有一名选手预测错误，这就是_______选手预测错了．8.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．状元笔记【知识要点】1．定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义．2．命题：对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句（陈述句）叫作命题．3．命题的组成：命题由条件和结论组成，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．4.逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.5.真假命题：正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.6.证明：要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫作证明.7.举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不符合命题的结论，从而就可以判断这个命题为假命题，这种方法叫作举反例.8.互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.9.直接证明一个命题为真命题有困难时，可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明的方法称为反证法.10.证明的一般步骤：（1）根据题意，画出图形；（2）根据命题的条件和结论，结合图形，写出已知、求证；（3）写出证明过程.【温馨提示】1．命题是陈述句，疑问句、感叹句等不是命题.2．每一个命题都有逆命题，但一个命题的逆命题不一定是真命题．3.定义不等同于真命题，定义一定是真命题，但真命题不一定是定义.4．每个定理都有逆命题，但不一定有逆定理．【方法技巧】1．定义中一般含有“叫作”或“统称”字眼．2．在新定义运算中一定要先将新定义运算转化为一般运算．3．定义、定理、公理是证明的依据，做到证明的每一步都有道理，证明时先要通过分析找到证明的途径，再进行证明．4.反证法是一种间接的证明方法，当一个命题不易直接证明时才釆用.参考答案：1.B解析：③和⑤是定义.2.C解析：（1）、（4）、（5）、（6）是命题.3.②、⑤4.解：∵2yxyxxy，∴2(4)(32)(4)(3232)(4)(3)311(4)2(4)(3)24246464.5.A解析：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，∴证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．故选：A．6.50°7.丙解析：假设甲预测错，那么丁预测也错，不符合题意；假设乙预测错，那么乙得第一或最后，这与丙、丁所预测有矛盾，即不止一名选手预测错误，也不符合题意；假设丙预测错，他只可能得二、三、四名，那么其他三名预测皆正确，符合题意；假设丁预测错，因为其他三名皆预测不会得最后，所以也不成立的；所以只能是丙预测错．8.解：∠AED=∠ACB．理由：因为∠1+∠4=180°，∠1+∠2=180°．所以∠2=∠4．所以EF∥AB．所以∠3=∠ADE．因为∠3=∠B，所以∠B=∠ADE．所以DE∥BC．所以∠AED=∠ACB．2．3等腰三角形专题一等腰三角形的性质1．如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（)A．30°D．32°C36°D．40°2.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=AF，BC=BE，则∠ECF=（）A．60°B．45°C30°D．不能确定3.等腰三角形的两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为_________.4.若等腰三角形被一条直线分割成两个较小的三角形也是等腰三角形，求原等腰三角形的顶角度数.专题二等腰三角形的判定5.设a、b、c是三角形的三边长，且cabcabcba222，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中真命题的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个6.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线[来源:]OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2013B2013A2014的边长为（）A.2013B.2014C.20122D.201327.如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC绕顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD．（1）试说明△COD是等腰直角三角形；（2）当α=95°时，试判断△BOD的形状，并说明理由．8.如图,在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．OMNB1A1B2B3A2A3A4（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．状元笔记【知识要点】1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；（2）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合（简称为“三线合一”）；（3）等腰三角形的两底角相等（简称“等角对等边”）．2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°．3．等腰三角形的判定：（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）．（2）三个角都是60°的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【温馨提示】1．等边三角形任意一边上的三线合一．2．等边也是轴对称图形，且有三条对称轴，对称轴都是直线．【方法技巧】1．等边对等角或等角对等边必须在同一