高二数学圆锥曲线同步练习题

高二（理科）数学（圆锥曲线）同步练习题一、选择题1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是()A.x23－y2＝1，x29－y23＝1B.x23－y2＝1，y2－x23＝1C．y2－x23＝1，x2－y23＝1D.x23－y2＝1，y23－x29＝12．椭圆x29＋y225＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是()A．20B．12C．10D．63．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．84．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是()A.x24＋y216＝1或x216＋y24＝1B.x24＋y216＝1C.x216＋y24＝1D.x216＋y220＝15．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.156、双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝367、双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A．－14B．－4C．4D.148．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.y24－x24＝1B.x24－y24＝1C.y24－x29＝1D.x28－y24＝19．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为()A．2B．3C.43D.5310、已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A．2B．4C．8D．1611、方程22)1()1(yxyx所表示的曲线是（）A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．不能确定12、给出下列结论,其中正确的是（）A．渐近线方程为0,0baxaby的双曲线的标准方程一定是12222byaxB．抛物线221xy的准线方程是21xC．等轴双曲线的离心率是2D．椭圆0,012222nmnymx的焦点坐标是0,,0,222221nmFnmF二、填空题13．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝________.15．若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．16．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝43，则焦点F到直线AB的距离为________．三、解答题17、已知椭圆8x281＋y236＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与x29＋y24＝1共焦点的椭圆的方程．18、已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．19、已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆方程；(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．20、已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且AC·BC=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使PQ=λAB？21、已知定点(1,0)F，动点P（异于原点）在y轴上运动，连接PF，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且0PMPF，||||PNPM.（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若4OAOB且46||430AB，求直线l的斜率k的取值范围．高二数学圆锥曲线基础练习题（含答案）一、选择题1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是()A.x23－y2＝1，x29－y23＝1B.x23－y2＝1，y2－x23＝1C．y2－x23＝1，x2－y23＝1D.x23－y2＝1，y23－x29＝1解析：选A.B中渐近线相同但e不同；C中e相同，渐近线不同；D中e不同，渐近线相同．故选A.2．椭圆x29＋y225＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是()A．20B．12C．10D．6解析：选A.∵AB过F1，∴由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20.3．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8解析：选D.焦距为4，则m－2－(10－m)＝422，∴m＝8.4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是()A.x24＋y216＝1或x216＋y24＝1B.x24＋y216＝1C.x216＋y24＝1D.x216＋y220＝1解析：选C.由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是x216＋y24＝1.故选C.5、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.15解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝35或e＝－1(舍去)．6．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝36解析：选A.椭圆4x2＋y2＝64即x216＋y264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝43，e＝23，所以a＝6，b2＝12，所以双曲线方程为y2－3x2＝36.7．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A．－14B．－4C．4D.14解析：选A.由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m0，则双曲线方程可化为y2－x2－1m＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－1m＝b2＝4，∴m＝－14，故选A.8．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.y24－x24＝1B.x24－y24＝1C.y24－x29＝1D.x28－y24＝1解析：选A.2a＋2b＝2·2c，即a＋b＝2c，∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)，∴(a－b)2＝0，即a＝b.∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a2＝b2＝4，∴y2－x2＝4，即y24－x24＝1.9．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为()A．2B．3C.43D.53解析：选D.依题意，2a＋2c＝2·2b，∴a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，即3c2－2ac－5a2＝0，∴3e2－2e－5＝0，∴e＝53或e＝－1(舍)．10．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A．2B．4C．8D．16解析：选B.准线方程为x＝－p，∴8＋p＝10，p＝2.∴焦点到准线的距离为2p＝4.11、方程22)1()1(yxyx所表示的曲线是（A）A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．不能确定12、给出下列结论,其中正确的是（C）A．渐近线方程为0,0baxaby的双曲线的标准方程一定是12222byaxB．抛物线221xy的准线方程是21xC．等轴双曲线的离心率是2D．椭圆0,012222nmnymx的焦点坐标是0,,0,222221nmFnmF二、填空题13．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：∵2a＝8，∴a＝4，∵2c＝215，∴c＝15，∴b2＝1.即椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝________.解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以，sinA＋sinCsinB＝|BC|＋|AB||AC|＝108＝54.15．若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由题意知5－k0，k－30，5－k≠k－3，解得3k5且k≠4.16．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝43，则焦点F到直线AB的距离为________．解析：由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝43且AB⊥x轴得y2A＝(23)2＝12，∴xA＝y2A4＝3，∴所求距离为3－1＝2.三、解答题17．已知椭圆8x281＋y236＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与x29＋y24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M的纵坐标代入8x281＋y236＝1，得8x281＋436＝1，即x2＝9.∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x29＋y24＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x2a2＋y2a2－5＝1(a25)，把M点坐标代入得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为x215＋y210＝1.18．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．∵F1A⊥F2A，∴F1A→·F2A→＝0，而F1A→＝(－4＋c,3)，F2A→＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝－4＋2＋32＋－4－2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.19．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆方程；(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．解：(1)由已知得|F1F2|＝2，∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.(2)在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos120°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1||PF2|，∴4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝12，∴＝12|PF1||PF2|sin120°＝12×12×32＝33.20已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且AC·BC=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使PQ=λAB？解（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系则A（2，0），设所求椭圆的方程为：224byx=1(0b2),由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由AC·BC=0得AC⊥BC，∵|BC|=