专题63-数学建模在高中数学中的应用PPT新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析.ppt

数学建模在高中数学中的应用专题数学建模的诠释高中对数学建模的要求数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神.数学建模在高中数学中的应用举例一、基本初等函数中数学建模的运用[典例1]某公司为适应市场需求，投入98万元引进新生产设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元，则引进该设备____________年后，该公司开始盈利．[确定模型]题中问题是盈利问题，涉及不等式，故选择“二次函数模型”．3[思路分析]设引进该设备n年后，该公司开始盈利，则50n＞98＋12n＋nn－12×4，解出即可得出．解析设引进该设备n年后，该公司开始盈利，则50n＞98＋12n＋nn－12×4，化为n2－20n＋49＜0，解得10－51＜n＜10＋51，∵n∈N*，∴3≤n≤17.引进该设备3年后，该公司开始盈利.[训练1]在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．解由题意列出不等式S甲＝0.1x甲＋0.01x2甲12，S乙＝0.05x乙＋0.005x2乙10．分别求解，得x甲－40或x甲30，x乙－50或x乙40．由于x0，从而得x甲30km/h，x乙40km/h．经比较知乙车超过限速，应负主要责任．二、基本不等式中数学建模的运用[典例2]某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？[确定模型]题中设问涉及求函数关系式，因而选择“函数模型”．[思路分析](1)利用扇形的弧长公式，结合环面的周长为30米，可求θ关于x的函数关系式；(2)分别求出花坛的面积、装饰总费用，可求y关于x的函数关系式，换元，利用基本不等式，可求最大值．解(1)由题意，30＝xθ＋10θ＋2(10－x)，∴θ＝10＋2x10＋x(0＜x＜10)．(2)花坛的面积为12×10·θ·10－12·xθ·x＝θ2(100－x2)＝(10－x)(5＋x)；装饰总费用为xθ·9＋10θ·9＋2(10－x)·4＝9xθ＋90θ＋8(10－x)＝170＋10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y＝10－x5＋x170＋10x．令17＋x＝t，则y＝3910－110t＋324t≤310，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝1211，∴当x＝1时，y取得最大值310．[训练2]汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为s，驾驶员反应时间内汽车所行驶距离为s1，刹车距离为s2，则s＝s1＋s2，而s1与反应时间t有关，s1＝10ln(t＋1)，s2与车速v有关，s2＝bv2.某人刹车反应时间为e－1秒，当车速为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为____________.(精确到米)61解析因为刹车反应时间为e－1秒，所以s1＝10ln(e－1＋1)＝10lne＝5，当车速为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则s2＝b·602＝20，解得b＝1180，即s2＝1180v2．若v＝100，则s2＝1180×1002≈56，s1＝5，则该汽车的安全距离s＝s1＋s2≈5＋56＝61(米).三、函数与导数中数学建模的运用[典例3]习总书记在十九大报告中明确指出，“要着力解决突出环境问题，坚持全民共治，源头防治，持续实施大气污染防治行动，打赢蓝天保卫战．”为落实十九大报告精神，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为：f(x)＝2xx2＋42xx2＋4－a＋34，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈0，12．(1)令t(x)＝2xx2＋4，x∈[0,24]，求t(x)的最值；(2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标？[确定模型]题中涉及分式型函数求最值问题，可利用导数求解，因而可选择“函数与导数模型”．[思路分析](1)直接利用导数求函数t(x)在x∈[0,24]上的最值；(2)由已知结合(1)可得g(t)＝f(x)＝t·|t－a|＋34，t∈0，12，则g(t)＝－t2＋at＋34，0≤t≤a，t2－at＋34，a＜t≤12，利用二次函数的单调性分段求出f(x)的最大值关于a的表达式，可得fmax(x)≤1，由此可得目前市中心的综合污染指数没有超标．解(1)由t(x)＝2xx2＋4，x∈[0,24]，得t′(x)＝2x2＋4－2x·2xx2＋42＝－2x＋2x－2x2＋42，x∈[0,24]，令t′(x)≥0，得(x＋2)(x－2)≤0，即0≤x≤2，令t′(x)＜0，得(x＋2)(x－2)＞0，即x＞2，∴t(x)在[0,2]上递增，在(2,24]上递减，又当x＝24时，t(x)＝12145．∴当x＝0时，t(x)min＝0；当x＝2时，t(x)max＝12．(2)由(1)t＝2xx2＋4，x∈[0,24]，令g(t)＝f(x)＝t·|t－a|＋34，t∈0，12，则g(t)＝－t2＋at＋34，0≤t≤a，t2－at＋34，a＜t≤12，∵g(t)在0，a2和a，12上递增，在a2，a上递减，且ga2＝34＋a24，g12＝1－a2，ga2－g12＝a24＋a2－14，令a24＋a2－14≥0，解得2－1≤a≤12；令a24＋a2－14＜0，解得0≤a＜2－1，∴fmax(x)＝1－12a，0≤a＜2－1，34＋a24，2－1＜a≤12∵fmax(x)≤1，∴目前市中心的综合污染指数没有超标．[训练3]某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数为y＝3240－x2＋2x＋53，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)解由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y＝(3－0.9x)×3240×－x2＋2x＋53＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，解得x＝59或x＝3(舍去)，当x∈0，59时，f′(x)0，f(x)是增函数；当x∈59，1时，f′(x)0，f(x)是减函数．所以当x＝59时，f(x)取极大值，f59＝20000．因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．四、数列中数学建模的运用[典例4]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为()A．6里B．12里C．24里D．48里B[确定模型]题中条件“每天走的路程为前一天的一半”与等比数列有关，故选择“数列模型”．[思路分析]由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S6＝378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．答案B解析记第n天走的路程里数为an，由题意知{an}是公比12的等比数列，由S6＝378，得S6＝a11－1261－12＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×124＝12(里).解析设该女子第一日织a1尺，每日比前一日多织d尺，则{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，∵七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，∴S7＝7a1＋7×62d＝35，a1＋d＋a1＋4d＋a1＋7d＝18，解得a1＝2，d＝1，∴第六日所织尺数a6＝2＋5＝7.[训练4]《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，问第六日所织尺数为()A．6B．7C．8D．9B五、三角函数中数学建模的运用[典例5]如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝120°，∠BAE＝60°，DE＝3BC＝3CD＝3km．(1)求道路BE的长度；(2)求道路AB，AE长度之和的最大值．[确定模型]题中条件涉及角度、三角形有关的问题，故选择“解三角形模型”．[思路分析](1)连接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求∠CDB＝∠CBD＝30°，∠CDE＝120°，可得∠BDE＝90°，利用勾股定理即可得解BE的值．(2)设∠ABE＝α，由正弦定理，可得AB＝4sin(120°－α)，AE＝4sinα，利用三角函数恒等变换的应用化简可得AB＋AE＝43sin(α＋30°)，结合范围30°＜α＋30°＜150°，利用正弦函数的性质可求AB＋AE的最大值，从而得解．解(1)如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝1＋1－2×1×1×－12＝3，∴BD＝3，∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝180°－120°2＝30°，又∵∠CDE＝120°，∴∠BDE＝90°，∴在Rt△BDE中，BE＝BD2＋DE2＝3＋9＝23．(2)设∠ABE＝α，∵∠BAE＝60°，∴∠AEB＝120°－α，在△ABE中，由正弦定理，可得ABsin∠AEB＝AEsin∠ABE＝BEsin∠BAE，∵BEsin∠BAE＝23sin60°＝4，∴AB＝4sin(120°－α)，AE