第2章 冲击波导论

2.1波的基本概念1、波（Wave）波通常可以分为两大类：一类是电磁波，另一类是机械力学波。当介质（Medium）受到外界作用（如振动、冲击等）时，介质的局部状态参量就会发生变化，这就是扰动（Disturbance）。波就是扰动的传播。2.1波的基本概念如果活塞突然向右移动，便有波向右传播。在扰动传播过程中，扰动介质与未扰动介质之间存在一个界面，这个界面就叫波阵面(Wavefront)。扰动在介质中的传播速度叫做波速(Wavevelocity)。（要与介质的质点速度区分）2.1波的基本概念如果扰动前后介质的状态参数变化量与原来的参数量相比是很微小的，则称这种扰动为弱扰动（Weakdisturbance）或小扰动。弱扰动的特点是各种参数的变化量是微小的、逐渐的和连续的。如果扰动前后介质的状态参数发生突跃变化，则称这种扰动为强扰动（Strongdisturbance）。2.1波的基本概念2、声波（soundwave）声波是一种弱扰动波。弱扰动在介质中的传播速度就叫声速。它是气体动力学中一个非常重要的参数。下面以活塞在直管中移动所引起的气体扰动的传播来建立声速c与其它参数的关系式。如图所示。……(1)式中x为t1时刻扰动传播的距离，x=ct1x1为时刻活塞运动的距离，x1=ut1A0为活塞的截面积。代入（1）式可得：消去t1后可得：……（2）2.1波的基本概念质量守恒（ConservationofMass）：dAxxAx00100dtucct0110ducc002.1波的基本概念动量守恒（ConservationofMomentum）：气体受到扰动后的动量等于作用在其上面的冲量。化简后得：……(3)（2）式代入（3）式得：……(4)由（2）式可得：……(5)1000001tApdppudAxxuducdp0cudp0cdddccu0002.1波的基本概念把（5）式代入（4）式得：……(6)由于声波为弱扰动波，波阵面过后介质状态变化为一微小量，故有，因此，（6）式变为：……(7)看作等熵过程：……(8)ddpdc002100dddpcsddpc2.1波的基本概念对于理想（多方）气体，其等熵方程为：……(9)则……(10)所以理想气体的声速为：……(11)又由可得：……(12)kAppkAkAkddpkk1pkcRTpkRTc2.1波的基本概念对于地表面上的空气，可近似地视为理想气体，将，代入上式可得：……(13)将代入（13）式可得340m/s。4.1kKmolJKkgJR3144.81.287Tc05.20CKT0152882.1波的基本概念需要指出的是，只有对于小扰动，才成立，扰动才以声速传播。对于的扰动，其传播速度大于声速，扰动越强，传播速度将越高。100d100d2.1波的基本概念3、压缩波和稀疏波压缩波（CompressionWave）：扰动传过后，介质的压力、密度、温度等状态参数增加的波称为压缩波。其特点是波传播的方向与介质质点运动方向相同。稀疏波（RarefactionWave）：扰动传过后，介质的压力、密度、温度等状态参数下降的波称为稀疏波，其特点是波传播的方向与介质质点运动方向相反。2.1波的基本概念在一个连续的，缓慢的压缩过程中，每一小步的压缩都是一种等熵变化，但由于每经一步压缩后气体的温度都要上升，气体的声速必将上升，这样下一步的压缩波的波速逐渐增加，一旦集中起来，状态参数的变化将不再连续，就会发生突跃，弱扰动变成强扰动。2.1波的基本概念由于稀疏波的膨胀飞散是按顺序连续进行的，所以稀疏波传播中介质的状态变化是连续的，如图2－4中的压力变化。图2－4稀疏波现象2.1波的基本概念在稀疏波扰动过的区域中，任意两相邻端面的参数都只差一个无穷小量，因此稀疏波的传播过程属于等熵过程，它的波速等于介质当地的声速或音速（Localsoundspeed）。2.2气体的平面一维流动所谓一维流动，是指在某一空间坐标x等于常数的平面上流体参数都是均匀分布的，并且在给定坐标x处的流体参数都只与时间t变化相关的流动。平面一维流动规律的求解目标是确定一维流场中介质参数随时间t和空间x的变化规律，如p=p(x,t)，T=T(x,t)，u=u(x,t)，ρ=ρ(x,t)。一维流动又可分为一维定常流动和一维不定常流动。2.2.1气体一维流动的基本方程组气体在平面一维流动下，满足质量守恒、动量守恒和能量守恒，其对应的方程分别叫质量方程（连续方程）、动量方程（欧拉方程）、能量方程。1、连续方程（质量方程）……(1)该式为一维不定常流动的连续方程。2、欧拉方程（动量方程）……(2)0xuxut01xpxuutu2.2.1气体一维流动的基本方程组3、能量方程在不考虑气体的粘性和热传导的情况下，气体的流动是等熵的。……(3)4、状态方程由于S可表示为p和的函数，故等熵流动条件可表示为：对于理想气体，其等熵方程为：……(4)这样，便可由连续方程、欧拉方程、能量方程和状态方程求解气体一维等熵流动的四个未知量。0xSutSdtdS常数,pSSkApTup,,,2.2.2以u、c为求解参量的方程组为使前面建立起来的气体一维等熵流动的方程组的物理意义更容易理解，将它们稍加变换。引入声速c代替p和。由声速公式及等熵方程可得：……(5)将（5）式两边微分并同时除以，得……(6)12ksAkddpc1kAkdkcdc122.2.2以u、c为求解参量的方程组由（5）式知，……(7)把（6）式代入（7）式，可得：……(8)dcdp2dckcdp122.2.2以u、c为求解参量的方程组将（6）式代入连续方程（1）式，可得……(9)将（8）式代入欧拉方程（2）式，可得……(10)01212xucxckutck012xckcxuutu2.2.2以u、c为求解参量的方程组将（9）、（10）两式相加和相减，整理可得……(11)这个方程组即是以u、c为变量描述气体一维等熵不定常流动规律的方程组。确定气体一维等熵流动过程中气体各参数时的时间、空间变化规律，归结为解此偏微分方程组。0121201212ckuxcuckutckuxcuckut2.2.2以u、c为求解参量的方程组小扰动波在静止介质中是以音速进行传播的，在一维情况下，静止气体中小扰动波的传播速度为c。在流动介质中，小扰动波的传播速度为介质流动速度u与当地音速c的叠加，即。顺介质流动方向传播的扰动取正号，逆介质流动方向传播的扰动取负号。cudtdx2.2.2以u、c为求解参量的方程组在条件下，（11）式可表示为对t的全导数形式，并且该导数为零，即……(12)即……(13)cudtdxcku12012012ckudtdckudtd＝常数常数ckucku12122.2.2以u、c为求解参量的方程组由此可以看出，方程（11）在条件下描述的是两个量的推进规律:即由所确定的状态（或扰动）以速度顺气体流动方向（即x轴的正方向）传播；而由所确定的状态（或扰动）以速度逆气体流动方向传播。cudtdxcku12cudtdxcku12cudtdx2.2.3方程组的特征线及一般解2.2.3方程组的特征线及一般解dx/dt=u+c和dx/dt=u-c分别代表一维等熵流动介质中扰动沿x轴的正向和反向传播的速度，我们称它们为（11）式的特征或特征方程。它们的积分各自代表x－t平面上的一簇曲线，叫做特征线。其中在x－t平面上由dx/dt=u+c所确定的特征线称为第一簇特征线，用C＋表示；而由dx/dt=u-c所确定的特征线称为第二簇特征线，用C－表示。2.2.3方程组的特征线及一般解这两簇特征线分别描述的是物理状态量，即扰动波以速度沿x轴的正向或负向传播的轨迹。因此，对于一维等熵不定常流动方程组（11）式，有沿着C＋特征线……(14)cku12cu常数或Ickuckudtdcudtdx120122.2.3方程组的特征线及一般解沿着C－特征线……(15)式中，I+,I-称为黎曼（Riemann）不变量。它们在u，c平面上可用两簇相互平行的直线来描述，称为方程组（11）在速度平面上的特征线。它们在沿着各自的特征线（C＋和C－）传播时保持不变。如图2－5所示。常数或Ickuckudtdcudtdx120122.2.3方程组的特征线及一般解图2－5特征线2.2.3方程组的特征线及一般解方程（14）和（15）为方程组（11）的一般解。在k≠3的最普通的情况下，由于(u+c)和(u-c)都是x和t的函数，即右传波的传播速度受反方向波的影响，因此（14）式和（15）式无法得到精确的解析解。一般采用数值积分法或特征线法近似求解。2.2.3方程组的特征线及一般解在x-t平面上,假设曲线AB上的各点状态参数已知。C＋和C－分别表示AB线上各点发出的不同簇的特征线，求解流场D内各点的状态参数。图2－6特征线法解流场参数2.2.3方程组的特征线及一般解【解】近似认为，，并近似把x-t平面上特征线的一小段视为直线。在曲线AB上选取一系列的点M1，M2，Mi等。由于ui和ci已知，过Mi点作特征线C－，其特征方程为：txdtdxtudtdutcdtdciiiiiickuckuttcuxx12122.2.3方程组的特征线及一般解而过Mi+1点作特征线C＋，其特征方程为：其中x和t为C＋和C－相交点Mi’空间坐标和时间，u和c为该相交点Mi’的状态参量。同样可以求出A’B’上各点的参量，依次可求出任意位置点的状态参量。1111111212iiiiiickuckuttcuxx2.2.4方程组的特殊解——简单波流动2.2.4方程组的特殊解——简单波流动前面讨论的（14）和（15）式是方程组（11）式的通解，流场中可同时存在左传波和右传波。如果流场中只有一个方向传播的扰动波，即波未进入的区域介质处于静止状态或稳定流动状态，这种波就称为简单波，其解称之为方程组的特殊解。简单波：它的某一族特征线上的黎曼不变量是同一个常数，即该族各条特征线上的黎曼不变量彼此相等。2.2.4方程组的特殊解——简单波流动当给定如下条件，即……(16)对（16）式分别对t和x求偏导，得将这两式代入（11）式可得……(17)常数ckuI12tuktc21xukxc210xucutu2.2.4方程组的特殊解——简单波流动该式表明，沿特征线dx/dt=u+c，有du/dt=0。即u＝常数。由（16）式知，c亦为常数。因此dx/dt=u+c就可以积分了。因此……(18)uFtcuxcku112常数2.2.4方程组的特殊解——简单波流动同理，当时，有……(19)式中，是u的任意函数，由边界条件确定。由（18）和（19）式即可确定简单波的向前波（右传波）和向后波（左传波）流动区内任一点的参数u和c。常数ckuI12uFtcuxcku212常数uFuF21,2.2.4