转动动能&转动惯量、转动定理

11.设刚体绕固定轴Oz以角速度转动,各体元的质量分别为m1,m2,…,mn,各体元到转轴Oz的距离依次是r1,r2,…,rn。niiiiniiirmvmE1212)(2121ΔΔk21221niiirmΔimxOirivn个体元绕Oz轴作圆周运动的动能的总和为一、刚体的转动动能(Rotationalkineticenergy)P351.5.2刚体动力学（P30）2mriini12式中称为刚体对转轴的转动惯量(rotationalinertia)，niiirmJ12代入动能公式中,得到刚体转动动能的一般表达式)84-1(212kJE刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似的用I表示为3二、刚体的转动惯量(Momentofinertia)P31-33刚体的转动惯量I质点的质量m在质点运动中,质点的质量是质点惯性的量度。在刚体转动中,刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度转动惯量I等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘积的和，与质点的运动速度无关，决定于刚体的各部分质量对给定转轴的分布情况与转动惯量有关的因素：刚体的质量、刚体的形状(质量分布)、转轴的位置。转动惯量具有可相加性。4axisaxisaxis三个刚体，质量相等，因转轴位置或质量分布不同，转动惯量不相等；5转动惯量的求法：只有形状比较简单而密度又有规则地分布的物体才能用数学方法求出它的转动惯量。对形状复杂而密度又不均匀的物体，求转动惯量的最好办法是用实验方法测定。若刚体的质量连续分布,转动惯量中的求和号用积分号代替VrmrJdd22SI制中，J的单位为kg·m26dVdmdVdmdSdmdSdmdldmdldm（三维）体密度（西格玛）（二维）面密度（一维）线密度SrJVrJVrmrJdddd22227质量连续分布的物体:（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）mrJd2线积分面积分体积分dVordsorddm8常用的几个物体的J均匀圆环：2mRJCRmmRJlRmRldRldRdmRJRRRR222202202202202RmCC91-9计算质量为m，长为l的细棒，绕通过其端点的垂直轴的转动惯量。(P33)oxzdxdmxdddmmxxl解例在x处取dm，dm长为dx。dmrJ2231mlJllxlmdxlmxJ03023110例1-9一根质量为m、长为l的均匀细棒，绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴旋转，求转动惯量解细棒对转轴的转动惯量J将棒的中点取为坐标原点，建立坐标系Oxy，取y轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx,其质量为xlmmddxdxxyO2l2l11232/02232/2/212132d212131d2/02/2/mlxlmxlmxJmlxlmxlmxJllllll根据式,应有niiirmJ121212例1-10（P33）一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。ordrRd2dmrr2dJrm32drr302dRJrr42122RmR解1313几种常见形状的刚体的转动惯量141415要改变刚体的转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、方向和作用点都有关。1.力矩(momentofforce):力矩是矢量：单位：N·mMφFdPr三、力矩FrMvvvsinrFdFM16力的大小与力臂的乘积叫做该力对转轴的力矩(momentofforce)力臂:rsinθ力矩的单位：kg•m2•s-2或N•m力臂：力的作用线和转轴之间的垂直距离。力矩的方向：由右手螺旋法则确定。17注意力矩的方向！z//FrFdMF例如：图中力F的方向不在转动平面内，可以沿两个方向分解：力矩方向沿定轴，可用正、负表示方向。一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。几个力同时作用在刚体上，它们的合力矩就是各力的力矩的矢量和或代数和。18说明：与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；(Why?)与转轴平行的力对转轴不产生力矩；(Why?)刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。(why?)19JdtdJMdtdddtdJdJIddEdMdAMAk2212.力矩的功：XFA20四、刚体做定轴转动时的动能定理合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。对于刚体，同样要考虑保守力、势能、机械能等。212221222121212121JJAJJdJdAAdJddtdJMddA21五、转动定理(Theoremofrotation)将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子ddkAE得d)21(dd2JJMz一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该轴而言）等于零时，它将保持原有的角速度不变（原来静止的继续静止，原来转动的则作匀角速转动），即转动刚体的第一定律。它反映任何物体都具有转动惯性，这类似于牛顿第一定律。转动刚体第二定律：22在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩。转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似的，合外力矩与合外力相对应，转动惯量与质量相对应，角加速度与加速度相对应。m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。或者写为JMz上式就是转动定理的数学表达式。233、转动定律M=Jβ物体受到外力要发生运动，遵守牛顿第二定律F=ma;物体受到外力矩作用，要发生转动，遵守转动定律，角加速度与力矩同向。⑴注意：当∑F≠0时，但F与r同向，力的作用线过转轴，θ=0，M=0⑵当力作用在轴上r=0，∑M=0，物体不转动或保持原有状态不变。244.力矩与角加速度的因果关系与质点运动的牛顿第二定律类似。力矩是刚体产生转动角加速度的原因:α与M成正比α与J成反比25Newton’ssecondlawforrotation.JM26JMEquationiscalledasthelawofrotation.转动定理表明角加速度与力矩成正比，与转动惯量成反比。PF轴