机械振动的基本理论

返回总目录振动理论与应用第1章振动的基本理论TheoryofVibrationwithApplicationsTheoryofVibrationwithApplications引言振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。振动属于动力学第二类问题－已知主动力求运动。返回首页TheoryofVibrationwithApplications振动理论与应用振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题相类似：选择合适的广义坐标；分析运动；分析受力；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。返回首页引言TheoryofVibrationwithApplications振动理论与应用振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的－动量定理；动量矩定理；动能定理；达朗伯原理。分析动力学基础中的－拉格朗日方程。返回首页引言TheoryofVibrationwithApplications振动理论与应用振动概述所考察的系统既有惯性又有弹性。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。振动问题的共同特点返回首页TheoryofVibrationwithApplications振动理论与应用TheoryofVibrationwithApplications返回首页TheoreticalMechanics第1章振动的基本理论1.1振动系统1.2简谐振动1.3周期振动的谐波分析1.4非周期函数的连续频谱目录返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.1振动系统第1章振动的基本理论返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.1振动系统振动系统一般可分为连续系统或离散系统。具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程。在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的准则将分布参数“凝缩”成有限个离散的参数，这样便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。由于所具有的自由度数目上的区别，离散系统又称为多自由度系统。按系统的自由度划分：振动问题的分类单自由度振动－一个自由度系统的振动。多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。返回首页振动概述TheoryofVibrationwithApplications1.1振动系统按系统特性或运动微分方程类型划分：振动问题的分类线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的振动。)sin(0eqeqtFkm＝0kyym非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.1振动系统返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.1振动系统线性振动：相应的系统称为线性系统。线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。非线性振动：相应的系统称为非线性系统。非线性振动的叠加原理不成立。按激励特性划分：振动问题的分类自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。返回首页振动概述TheoryofVibrationwithApplications1.1振动系统返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动第1章振动的基本理论返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.1简谐振动的表示1.用正弦函数表示简谐振动用时间t的正弦（或余弦）函数表示的简谐振动。其一般表达式为tAxsinπ21,π21TffT一次振动循环所需的时间T称为周期；单位时间内振动循环的次数f称为频率。周期T的单位为秒（s），频率f的单位为赫兹（Hz），圆频率的单位为弧度/秒（rad/s）。振幅圆频率初相位返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.1简谐振动的表示图描述了用正弦函数表示的简谐振动，它可看成是该图中左边半径为A的圆上一点作等角速度的运动时在x轴上的投影。)2πsin()cos(tAtAxπ)sin()sin(22tAtAx如果视x为位移，则简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t的一阶和二阶导数，即返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.1简谐振动的表示可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，具有相同的频率。在相位上，速度和加速度分别超前位移和。2ππxx2重要特征:简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是与位移相反，始终指向平衡位置。可得到加速度与位移有如下关系返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.1简谐振动的表示旋转矢量OM的模为振幅A，角速度为圆频率，任一瞬时OM在纵轴上的投影ON即为简谐振动表达式2.用旋转矢量表示简谐振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.1简谐振动的表示记,复数1j)sin(j)cos(e)j(tAtAAzt复数Z的实部和虚部可分别表示为)sin()(I)cos()(RmetAztAz简谐振动的位移x与它的复数表示z的关系可写为)(Imzx3.用复数表示简谐振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.1简谐振动的表示由于2jejjπe1用复数表示的简谐振动的速度加速度为]e[I]e[jI)2j(m)j(mttAAx]e[I]e[I)j(2m)j(2mttAAx也可写成ttAAZjjjeee是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信息。用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。jeAA返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.2简谐振动的合成1.两个同频率振动的合成有两个同频率的简谐振动xAt111sin()xAt222sin()由于A1、A2的角速度相等，旋转时它们之间的夹角()保持不变，合矢量A也必然以相同的角速度作匀速转动12返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.2简谐振动的合成由矢量的投影定理xAtAtAt1122sin()sin()sin())coscossinsinarctan()coscos()sinsin(221122112221122211AAAAAAAAAA=A1+A2即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频率与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。21π2π2nm返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.2简谐振动的合成2、两个不同频率振动的合成有两个不同频率的简谐振动xAt111sinxAt222sin12mn有理数TmTnT12T1T2返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.2简谐振动的合成xxx12)()()(21TtxTtxTtx当频率比为有理数时，合成为周期振动，但不是简谐振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。合成的周期若与之比是无理数，则无这样一个周期。其合成振动是非周期的。12若，对于，则有12AAA12tAtAxxx221121sinsin)()()(21txtxtxttA)2sin()2cos(21212)()(2211nTtxmTtx返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.2简谐振动的合成令1212()21xAtt22cossin式中的正弦函数完成了几个循环后，余弦函数才能完成一个循环。这是一个频率为的变幅振动，振幅在2A与零之间缓慢地周期性变化。AtAt()cos22它的包络线tAtAxxx221121sinsinttA)2sin()2cos(21212返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简谐振动1.2.2简谐振动的合成AtAt()cos22这种特殊的振动现象称为“拍”，或者说“拍”是一个具有慢变振幅的振动拍频返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周期振动的谐波分析第1章振动的基本理论返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周期振动的谐波分析xtxtnT()()周期振动展成傅氏级数xtaantbntnnn()(cossin)01112TnTnTttntxTbttntxTattxTa010100dsin)(2dcos)(2d)(2一个周期T中的平均值xtaAntnnn()sin()0112n=1,2,3,……n=1,2,3,……Tπ21基频,tan22nnnnnnbabaA，返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周期振动的谐波分析一个周期振动可视为频率顺次为基频及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。1在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周期振动的谐波分析函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振动。例1.1已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。解∶矩形波一个周期内函数F(t)可表示为Ftff()00π2ππ0tt表示F(t)的波形关于t轴对称，故其平均值为零。0d)(π1π200ttFa返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周期振动的谐波分析n=1，2，3……0dcosdcosπ1210010ttnfttnfanπ4πcos1π2dsindsinπ100210010nfnnfttnfttnfbn于是，得F(t)的傅氏级数tttftnnftnbtFn