1994考研数三真题及解析

11994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)2222xxdxx_____________.(2)已知()1fx,则000lim(2)()xxfxxfxx_____________.(3)设方程2cosxyeyx确定y为x的函数,则dydx_____________.(4)设121000000,000000nnaaAaaLLMMMMLL其中0,1,2,,,iainL则1A_____________.(5)设随机变量X的概率密度为2,01,()0,xxfx其他，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件12X出现的次数,则2PY_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)曲线2121arctan(1)(2)xxxyexx的渐近线有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条(2)设常数0,而级数21nna收敛,则级数21(1)nnnan()(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(3)设A是mn矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵BAC的秩为1r,则()(A)1rr(B)1rr(C)1rr(D)r与1r的关系由C而定2(4)设0()1,0()1,()()1PAPBPABPAB,则()(A)事件A和B互不相容(B)事件A和B相互对立(C)事件A和B互不独立(D)事件A和B相互独立(5)设12,,,nXXXL是来自正态总体2(,)N的简单随机样本,X是样本均值,记222212112222341111(),(),111(),(),1nniiiinniiiiSXXSXXnnSXSXnn则服从自由度为1n的t分布的随机变量是()(A)11XtSn(B)21XtSn(C)3XtSn(D)4XtSn三、(本题满分6分)计算二重积分(),Dxydxdy其中22(,)1Dxyxyxy.四、(本题满分5分)设函数()yyx满足条件440,(0)2,(0)4,yyyyy求广义积分0()yxdx.五、(本题满分5分)已知22(,)arctanarctanyxfxyxyxy,求2fxy.六、(本题满分5分)设函数()fx可导,且10(0)0,()()xnnnfFxtfxtdt,求20()limnxFxx.七、(本题满分8分)已知曲线(0)yaxa与曲线lnyx在点00(,)xy处有公共切线,求:(1)常数a及切点00(,)xy；3(2)两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积xV.八、(本题满分6分)假设()fx在[,)a上连续,()fx在,a内存在且大于零,记()()()()fxfaFxxaxa,证明()Fx在,a内单调增加.九、(本题满分11分)设线性方程组23112131231222322313233323142434,,,.xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1)证明:若1234,,,aaaa两两不相等,则此线性方程组无解；(2)设1324,(0)aakaakk,且已知12,是该方程组的两个解,其中12111,1,11写出此方程组的通解.十、(本题满分8分)设0011100Axy有三个线性无关的特征向量,求x和y应满足的条件.十一、(本题满分8分)假设随机变量1234,,,XXXX相互独立,且同分布00.6,10.4(1,2,3,4)iiPXPXi,求行列式1234XXXXX的概率分布.4十二、(本题满分8分)假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布(,1)N,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T(单位:元)与销售零件的内径X有如下关系:1,10,20,1012,5,12.XTXX问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?51994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】ln3【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知原式2222222202222xxxdxdxdxxxx222012dxx220ln(2)ln6ln2ln3.x(2)【答案】1【解析】根据导数的定义,有0000()()()limxfxxfxfxx.所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于000(2)()limxfxxfxxx00000(2)()()()limxfxxfxfxxfxx00000000(2)()()()(2)limlim2()()1.2xxfxxfxfxxfxfxfxxx所以原式0001lim1(2)()1xxfxxfxx.(3)【答案】sin2xyxyyexyxey【解析】将方程2cosxyeyx看成关于x的恒等式,即y看作x的函数.方程两边对x求导,得sin()2sin2xyxyxyyexeyxyyyxyxey.【相关知识点】两函数乘积的求导公式：()()()()()()fxgxfxgxfxgx.6(4)【答案】1211000100010001000nnaaaa【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式1110000ABBA,且11122111nnaaaaaa所以,本题对A分块后可得11211000100010001000nnaaAaa.(5)【答案】964【解析】已知随机变量X的概率密度,所以概率12011224PXxdx,求得二项分布的概率参数后,故1~(3,)4YB.由二项分布的概率计算公式,所求概率为22313924464PYC.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：7若(,)YBnp,则(1)kknknPYkCpp,0,1,,kn,二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】本题是关于求渐近线的问题.由于2121limarctan(1)(2)4xxxxexx,故4y为该曲线的一条水平渐近线.又21201limarctan(1)(2)xxxxexx.故0x为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有lim()xfxa,则ya为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim()xafx,则xa为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]xxfxabfxaxx存在且不为,则yaxb为斜渐近线.(2)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因22222(1)||111112222nnnnaaannn,(第一个不等式是由2210,0,()2ababab得到的.)又21nna收敛,2112nn收敛,(此为p级数：11pnn当1p时收敛；当1p时发散.)所以2211122nnan收敛,由比较判别法,得21(1)||nnnan收敛.故原级数绝对收敛,因此选(C).(3)【答案】(C)【解析】由公式()min((),())rABrArB,若A可逆,则1()()()[()]()rABrBrEBrAABrAB.从而()()rABrB,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C).8(4)【答案】(D)【解析】事实上,当0()1PB时,(|)(|)PABPAB是事件A与B独立的充分必要条件,证明如下：若(|)(|)PABPAB,则()()()1()PABPABPBPB,()()()()()PABPBPABPBPAB,()()[()()]()()PABPBPABPABPBPA,由独立的定义,即得A与B相互独立.若A与B相互独立,直接应用乘法公式可以证明(|)(|)PABPAB.(|)1(|)(|)PABPABPAB.由于事件B的发生与否不影响事件A发生的概率,直观上可以判断A和B相互独立.所以本题选(D).(5)【答案】(B)【解析】由于12,,,nXXX均服从正态分布2(,)N,根据抽样分布知识与t分布的应用模式可知(0,1)XNn,其中11niiXXn,2212()(1)niiXXn,21(1).1()1niiXntnXXn即221(1)1()1(1)niiXXtnSXXnnn.因为t分布的典型模式是:设(0,1)XN,2()Yn,且,XY相互独立,则随机变量/XTYn服从自由度为n的t分布,记作()Ttn.因此应选(B).三、(本题满分6分)【解析】方法1：由221xyxy,配完全方得22113222xy.9令11cos,sin22xryr,引入极坐标系(,)r,则区域为3(,)02,02Drr.故32200()(1cossin)Dxydxdydrrrdr2200313(cossin)422dd22003133sincos4222d.方法2：由221xyxy,配完全方得22113222xy.引入坐标轴平移变换：11,,22uxvy则在新的直角坐标系中区域D变为圆域2213(,)|2Duvuv.而1xyuv,则有dxdydudv,代入即得1111()(1)DDDDDxydxdyuvdudvududvvdudvdudv.由于区域1D关于v轴对称,被积函数u是奇函数,从而10Dududv.同理可得10Dvdudv,又1132DdudvD,故3()2Dxydxdy.四、(本题满分5分)【解析】先解出()yx,此方程为常系数二阶线性齐次方程,用特征方程法求解.方程440yyy的特征方程为2440,解得122.故原方程的通解为212()xyCCxe.由初始条件(0)2,(0)4yy得122,0,CC10因此,微分方程的特解为22xye.再求积分即得200()2xyxdxedx2200lim2lim1bbxxbbedxe.【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程0ypyqy：首先写出方程0ypyqy的特征方程：20rprq,在复数域内解出两个特征根12,rr；分三种情况：(1