二次根式的混合运算

二次根式的混合运算【教学进度】二次根式§11.6【教学内容】二次根式的混合运算【重点难点剖析】一、主要知识点1．有理化因式：见课本P198第11行~第12行2．二次根式混合运算（1）二次根式的加、减、乘与整式的加、减、乘类似，在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用。（2）二次根式的除法，一般是先写成分式的形式，然后通过分母有理化来进行。二、重点剖析1．有理化因式（1）二次根式的有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数，例如3的有理化因式可以是33,32,3……但在一般情况下，我们所找的有理化因式应是最简单的，例如：8的有理化因式为2，5325的有理化因式为5325。（2）一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形：①aa和②baba和；③baba和；④bnambnam和2．分母有理化的一般方法：用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。3．二次根式混合运算注意事项（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则根式中仍然适用。（2）二次根式的混合运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。（3）二次根式混合运算中，每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。（4）在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用。例如可以由baabba11来计算231121)12)(23(1223)12)(23(1332212312【典型例题】例1计算（1）])251()251[(5122（2）3232353135（3）mnbanmmnmnmabmna222)(（4）6)23()23(b分析（1）可运用))((22bababa计算（2）每个二次根式分别进行分母有理化，再进行二次根式的加减运算。（3）把括号中的每一项化成最简二次根式，再根据整式除法法则，abab1进行运算。（4）可把除式成分式，再根据分母有理化进行计算。解（1）原式1551)251251)(251251(51（2）原式)32)(32()32()35)(35()35(3)13)(13()13(523425217)347(23152515（3）原式nmbamnmmnmabmnma2221)1(2222222221111baabamnmnbaabamnnbamnmaba（4）原式623236666)23()23)(23()23(63352273312213223例2化简)23)(36(23346分析本题如果按一般方法分母有理化，不容易作出来，又不可能直接约分，但如果注意到)23(3)36(23346，可运用关系：baabba11来计算。解原式)23)(36()23(3)23)(36(36363231263623例3先化简再求值。abbaababbababa])())((4[，其中a=3，b=4分析根据本题特点，可先通分做加法，后做除法进行化简，再代入。解原式baabbabaabbababaabab]))(()())((4[2baabbabaabba))(()(2baabbababa1当a=3b=4时原式=234334例4已知2323,2323yx求代数式22353yxyx的值分析先将x，y化简，多项式可用x+y及xy的形式表示，为此求出x+y，xy，最后代值计算。解∵6252323x6252323y∴10625625yx1)625)(625(xy∵xyxyyxxyyxyxyx5]2)[(35)(335322222xyx11)1(32将x+y=10，xy=1代入，得原式2891111032例5设2611的整数部分为x，小数部分为y，求yyx2的值。分析先对2611进行化简，2611可以进行配完全平方。解222)29()2(182)9(1821126112329通过估算可知23的整数部全为1，则221)23(y52223222)22(12yyx例6把下列各式分母有理化（1）53212（2）63211分析分母里所含根号的个数多于两个，分母有理化时注意技巧，（1）题可分子分母同乘以532，（2）题先用因式分解的方法把分母化为积的形式解（1）原式62)532(12)532)(532()532(12302332（2）原式)13)(12(1)21(3)21(121326)13)(12)(13)(12()13)(12(例7已知117a，求19992345)1718172(aaaaa的值分析直接把a的值代入代数式计算，显然太繁，可把条件和要求的代数式同时变形，再代入计算解∵117a∴171a（a+1）2=17原式19992223245)1(]1)1[()1(2aaaaaaa199922234545]12)22()2(2[aaaaaaaaaaa1)1()1222(1999199922323aaaaaaa点评：由17)1(1712aa即，本题中的317a写成32)1(aa，18a写成17a+a=[1)1(2a]a，以便对所求代数式进行化简求值例8计算3232分析注意3232032,32都不能配成完全平方可用方程的思想方法求解。解令3232x则)3232(2x∴3232232322x22x∵x0∴2x【巩固练习与测试】1．已知223x，y是x的倒数，则22xyyx的值为2．已知2323,2323yx，则22yx的值为3．若ymy1，则yy21的结果为4．若22aa，则aa15．已知75的小数部分为a，75的小数部分为b，则ab+5b=6．化简yxyxxyxyyx2)2(=7．计算)6223()6322(8．计算732710310469．)35)(32(532210已知351,351yx，求下列各式的值（1）225yxyx（2）yxyxyxyx11.已知23ba，23cb求acbcabcba222的值12.已知154a，求出122123aaa的值13．已知2222ba求代数式bababaabaabababb)(的值14．)214)(242222(22xxxxxxxx（20x）15．已知nnnnynnnnx11,11（n为自然数）问n为何值时，代数式221913619yxyx的值为1998【练习与测试参政答案或提示】1．24；2．983.m2+24．2235．26．x+y7．3243138．19．2223510．（1）23，（2）362；11．11；12．-113．-2提示，原式化简为ab)ba(14．-1；15．n=2提示x+y=4n+2xy=198)yx(19y19xy136x192229+将x+y、xy的值代入。