应用随机过程 期末复习资料

1第一章随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，Xn表示第n次登记的数字，得到一个序列X1，X2，···，记为{Xn，n=1,2,···}，则Xn是随机变量，而{Xn，n=1,2,···}是随机过程。例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令Xn表示第n次统计所得的值，则Xn是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{Xn，n=1,2,···}的统计规律性。例3：一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t时刻在路上的位置，则{X(t),t0}就是（直线上的）随机游动。例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t时刻的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t),tT}和{Y(t),tT}都是随机过程。定义：设给定参数集合T，若对每个tT,X(t)是概率空间),,(P上的随机变量，则称{X(t),tT}为随机过程，其中T为指标集或参数集。EXt:)(，E称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。例1：E为{0,1}例2：E为[0,10]例3：E为},2,2,1,1,0{例4：E都为),0[注：（1）根据状态空间E的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。（2）参数集T通常代表时间，当T取R,R+,[a,b]时，称{X(t),tT}为连续参数的随机过程；当T取Z,Z+时，称{X(t),tT}为离散参数的随机过程。（3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。二、有限维分布与Kolmogorov定理随机过程的一维分布：})({),(xtXPxtF随机过程的二维分布：TttxtXxtXPxxFtt21221121,,},)(,)({),(212随机过程的n维分布：TtttxtXxtXxtXPxxxFnnnntttn,,},)(,)(,)({),,(21221121,,211、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，…n维分布等的全体}1,,,),,,({2121,,21nTtttxxxFnntttn称为{X(t),tT}的有限维分布族。2、有限维分布族的性质：（1）对称性：对（1,2，…n）的任一排列),,(21njjj，有),,(),,(21,,,,212121ntttjjjtttxxxFxxxFnnnjjj（2）相容性：对于mn，有),(),,(1,1,,111mttmttttxxFxxFmnmm3、Kolmogorov定理定理：设分布函数族}1,,,),,,({2121,,21nTtttxxxFnntttn满足上述的对称性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t),tT}，使}1,,,),,,({2121,,21nTtttxxxFnntttn恰好是{X(t),tT}的有限维分布族。定义：设{X(t),tT}是一随机过程：（1）称X(t)的期望)]([)(tXEtX（如果存在）为过程的均值函数。（2）如果Tt，)]([2tXE存在，则称随机过程{X(t),tT}为二阶矩过程。此时，称函数))]()())(()([(),(221121ttXttXEttXX，Ttt21,为过程的协方差函数；称),()]([tttXVar为过程的方差函数；称TtstXsXEtsRX,)],()([),(为自相关函数。例：)()(0btatVXtX，其中0X和V是相互独立的且均服从N(0,1)分布的随机变量，求)(tX和),(21tt。3三、随机过程的基本类型独立增量过程：如果对任意,,,,21Ttttn,21nttt随机变量,)()(12tXtX)()(1nntXtX是相互独立的，则称{X(t),tT}是独立增量过程。平稳增量过程：如果对任意21,tt，有X(t1+h)-X(t1)dX(t2+h)-X(t2)，则称{X(t),tT}是平稳增量过程。平稳独立增量过程：兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，例如Poisson过程和BrownianmotionPoisson过程2.1Poisson过程1.计数过程定义：随机过程}0),({ttN称为计数过程，如果)(tN表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：（1）0)(tN且取值为整数；（2）ts时，)()(tNsN且)()(sNtN表示],(ts时间内事件A发生的次数。2.Poisson过程定义2.1.1：计数过程}0),({ttN称为参数为（0）的Poisson过程，如果（1）;0)0(N（2）过程具有独立增量性；（3）在任一长度为t的时间区间中事件发生的次数服从均值为t的Poisson分布，即对一切0,0ts，有,1,0,!))()((nntensNstNPnt注：Poisson过程具有平稳增量性因为)()(sNstN的分布只依赖于t,与区间起点s无关，,0s令4,1,0,!)n)((nntetNPntttENtm)()(于是可认为是单位时间内发生的事件的平均次数，一般称是Poisson过程的强度。例2.1.1：（Poisson过程在排队论中的应用）研究随机服务系统中的排队现象时，经常用到Poisson过程模型。例如：到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施（商场、车站、购票处等）的顾客数，都可以用Poisson过程来描述。以某火车站售票处为例，设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的平均速率到达，则9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少？10:00-11:00没有人来买票的概率是多少？解：我们用一个Poisson过程来描述，设8:00为时刻0，则9:00为时刻1，参数10，于是!10}5)1()2({5010neNNPnn,10010!010}0)2()3({eeNNP例2.1.2：（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以)(tN表示某公路交叉口、矿山、工厂等场所在],0(t时间内发生不幸事故的数目，则Poisson过程就是}0),({ttN的一种很好近似。例如，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故导致一次索赔），向315台的投诉（设商品出现质量问题为事故）等都是可以用Poisson过程的模型。我们考虑一种最简单的情形，设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求4次，则一年中它要付出的金额平均为多少？解：设一年开始时刻为0，1月末为时刻1，…年末为时刻12，则有124!)124(})0()12({ennNNPn0124!)124()]0()12([nnennNNE=48问题：为什么实际中有这么多现象可以用Poisson过程来反映呢？).(2)(0h)iv();(1)(0h,0)iii()ii(;0)()i(0),(2.1.2hohNPhohhNPtNPoissonttN时，当时，当存在过程有平稳独立增量过程，如果满足：称为：计数过程定义定理2.1.1：定义1和定义2是等价的。例2.1.3：事件A的发生形成强度为的Poisson过程}0),({ttN，如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M(t)表示到时刻t被记录下来的事件总数，则}0),(M{tt是一个强度为p的Poisson过程。5例2.1.4：若每条蚕的产卵数服从Poisson分布，强度为，而每个卵变为成虫的概率为p，且每个卵是否变为成虫彼此间没有关系，求在时间[0,t]内每条蚕养活k只小蚕的概率。2.2与Poisson过程相联系的若干分布设nT表示第n次事件发生的时刻，n=1,2，…，规定00T。nX表示第n次与第n-1次事件发生的间隔时间，n=1,2，…。1.关于nX和nT的分布定理2.2.1：nX（n=1,2,…）服从参数为的指数分布，且相互独立。定理2.2.2：nT（n=1,2,…）服从参数为n和的分布。注：如果每次事件发生的时间间隔,....,21XX相互独立，且服从同一参数为的指数分布，则计数过程}0),({ttN是参数为的Poisson过程。例2.2.1：设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务，只有一名服务员，且每个人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min的指数分布，则到中午12:00为止平均有多少人已经离去，已有9个人接受服务的概率是多少？例2.2.2：假设某天文台观测到的流星流是一个Poisson过程，根据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星。试求：上午8:00-12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率。62.事件发生时刻的条件分布对于ts，有tstNsTP}1)(|{1现在考虑2n的情况：定理2.2.1：在已知ntN)(的条件下，事件发生的n个时刻,,21TTnT的联合分布密度是nntntttf!),,(21，nttt210例2.2.3：乘客按照强度为的Poisson过程来到某火车站，火车在时刻t启程，计算在],0(t内到达的乘客等待时间的总和的期望值。即要求])([)(1tNiiTtE，其中iT是第i个乘客来到的时刻。2.3Poisson过程的推广1.非齐次Poisson过程定义2.3.1：计数过程}0),({ttN称作强度函数为)0(0)(tt的非齐次Poisson过程，如果7).(2)()t()iv();()(1)()t()iii(}0),({)ii(;0)()i(hotNhNPhohttNhNPttNtN具有独立增量等价定义：定义2.3.2：计数过程}0),({ttN称作强度函数为)0(0)(tt的非齐次Poisson过程，若（1）;0)0(N（2）}0),({ttN具有独立增量性；（3）即任意实数0,0st，)()(tNstN为具有参数duutmstmstt)()()(的Poisson分布，称dsstmt0)()(为非齐次Poisson过程的均值函数（或累积强度函数）。定理2.3.1：设}0),({ttN是一个强度函数为)0(0)(tt的非齐次Poisson过程。对任意的0t，令)),(()(*1tmNtN则)}(*{tN是一个强度为1的Poisson过程。例2.3.1：设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次。试求它在试用期内只维修过一次的概率。82．复合Poisson过程定义2.3.3：称随机过程}0),({ttX为复合Poisson过程，如果对于0t，它可以表示为：)(1)(tNiiYtX，其中}0),({ttN是一个Poisson过程，},2,1,{iYi是一族独立同分布的随机变量，并且与}0),({ttN独立。注：复合Poisson过程不一定是计数过程。例2.3.2：保险公司接到的索赔次数服从一个Poisson过程}0),({ttN，每次要求赔付的金额iY都相互独立，且有相同分布F，每次的索赔数额与它发生的时刻无关，则],0[t时间内保险公司需要赔付的总金额}0),({ttX就是一个复合Poisson过程，其中)(1)(tNiiYtX。例2.3.3：设顾客到达某服务系统的时刻,,21SS，形成一强度为的Poisson过程，在每个时刻),2,1(nSn，可以同