自动控制原理(数学模型)

时域模型—微分方程复域模型—传递函数第二章控制系统的数学模型•§2.1引言•§2.2控制系统的数学模型—微分方程•§2.3控制系统的复域模型—传递函数•§2.4控制系统的结构图及其等效变换§2.1引言•数学模型数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。在静态时（即可变量的导数为零），描述变量之间关系的代数方程，叫静态方程式。•建模方法解析法（机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程实验法（系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性§2.2控制系统的数学模型—微分方程)()(...)()()()(...)()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn线性定常系统微分方程的一般形式)(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudrcccdttduCtic)()()()()()(tutRidttdiLtucr)()()(22tudttduRCdttudLCccc一、线性元部件及系统的微分方程例1R-L-C串连电路)()(1ommmiixxfFxxKF02xKFooommixKxxfxxK21)()(::BAioooooimoimxxfKxKKKxxfKxKKxxxKxKxK2121212211iooxKKKxKKfKKx2112121)(例2弹簧—阻尼器系统电磁力矩：—安培定律电枢反电势：—楞次定律电枢回路：—克希霍夫力矩平衡：—牛顿定律brERiumebcEicMmmmmmmmmmMfJ电机时间常数电机传递系数)/()/(memmmmemmmccfRcKccfRRJTrmmmmrmmmmuKTuKT消去中间变量i,Mm,Eb可得：例3电枢控制式直流电动机反馈口：放大器：电动机：减速器：绳轮：电桥：rmmmmmuTKKKKKLTKKKKKLTL432143211消去中间变量可得：LKuKLKuKTuKuuuupmmmmmpr423321例4X-Y记录仪1.根据各元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定输入、输出。2.根据元件的工作原理，列出相应的微分方程。3.消去中间变量，得到输出、输入之间关系的微分方程。控制系统微分方程的建立：控制系统的微分方程和前面没有什么区别，但是一般来说控制由许多子系统组成：1.一级一级传送；2.前后两个连接的两个元件中，后级对前级有否负载效应。获得微分方程的步骤二、非线性系统微分方程的线性化)](cos[)(0txExy)()()(0xyxyxyxxEy00sin取一次近似，且令既有例5已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。200000))((!21))(()()(xxxyxxxyxyxy解.在工作点(x0,y0)处展开泰勒级数)(sin000xxxErQShSdtdh1hhhhdthdhhh00021|0)(1)21()(0000rrQQShhhSdthhdSQhSdtdhr000rQShhSdthd120解.在处泰勒展开，取一次近似0h代入原方程可得在平衡点处系统满足上两式相减可得线性化方程例6某容器的液位高度h与液体流入量Q满足方程式中S为液位容器的横截面积。若h与Q在其工作点附近做微量变化，试导出h关于Q的线性化方程。线性定常微分方程求解微分方程求解方法0)()()]([dtetfsFtfLts（1）阶跃函数)()(tfsF像原像1常见函数的拉氏变换0001)(tttfssesdtetLstst110111100（2）指数函数atetf)(dtedteetfLtasstat00)]([as)(aseasa)t(s110110定义：三、拉普拉斯变换（3）正弦函数0sin00ωtttf(t)dteeejdtetf(t)Lsttjtjst0021sindteej)tj(s)t-(s-j021001121)tj(s)tj(sejsejsj22222211121ssjjjsjsj（1）线性性质2拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理(s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL21210fsFstfL00左tdfedtetfstst00001221nn-n-n-nnfsffsfssFstfdtetfs-fst000右0fssFst-stdetftfe00证明：0初条件下有：sFstfLnn例2求?)(tL解.t1ttLtδL1例3求?)cos(tL解.ttnsi1costLtLnsi1cos01δss101221ss22ss（3）积分定理0111-fssFsdttfL零初始条件下有：sFsdttfL1进一步有：0101011211nnnnnnfsfsfssFsdttfL个例4求L[t]=?解.dttt1dttLtL1例5求解.dttt220222111ttsss?22tL0111ttsss21sdttLtL2231s（4）实位移定理证明：例6解.)(1)(1)(atttf)(1)(1)(attLtfL)()(00sFetfLsτF(s),at0at010t0tf求sesas11seas1dtetfst00)(左令0tdefs00)()(defess00)(右（5）复位移定理证明：)()(AsFtfeLtAdtetfestAt0)(左令sAsdtetfts0)()(sF右dtetftAs0)()()(AsFateLteLt-5cos3)πt(eLt35cos2222155sssπ-sse例7例8例922533ss3225ssssatetL1asss1)π(teLt155cos222215522ssesπas1（6）初值定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sFstfst)0()()(0fsFsdtedttdfts21)(ssF例10)0()(lim)(lim0fsFsdtedttdfstss0lim)(0dtedttdftss左0)0()(limfsFss)(lim)(lim)0(0sFstffstttf)(lim)0(sFsfs01lim2sss（7）终值定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sFstfst)0()()(0fsFsdtedttdfts))((1)(bsasssF例11（终值确实存在时）)0()(lim)(lim000fsFsdtedttdfstssdtedttdftss00lim)(左0)(tdftttdf0)(lim)0()(limftft)0()(lim0fsFss右abbsasssfs11lim022ωsωsFtωtfsin例120lim220ωsωss3用拉氏变换方法解微分方程)(1)()()(21ttyatyatyssYasas1)()(212L变换0)0()0(yy)(1)(212asasssY)(1sYLty系统微分方程L-1变换cacacacannnn01)1(1)(...用L变换方法解线性常微分方程0初条件nm:L)()...(0111sCasasasannnn)(......)(01110111sRasasasabsbsbsbsCnnnnmmmm011011)()(......)(asasabsbsbsCnnnnmmmmttrnnsCsCsC2211tnttneCeCeCsCLtc21211)]([)(:特征根（极点）i:相对于的模态tiei:1Lrbrbrbrbmmmm01)1(1)(...)()...(0111sRbsbsbsbmmmm用留数法分解部分分式一般有其中：)(......)()()(011011mnasasabsbsbsAsBsFnnnnmmmm设)())((...)(21011nnnnnpspspsasasasA0)(sAI.当无重根时niiinnpsCpsCpsCpsCF(s)12211nitpitpntptpineCeCeCeCtf12121)().F(s)p(sCipsiilimipsi(s)AB(s)C342)(2ssssF例2已知，求?)(tf解.3131221sCsC))(s(ssF(s)2131213121lim11))(s(ss)(sCs2113233123lim32))(s(ss)(sCs321121ssF(s)tteef(t)321213455)(22sssssF例3已知，求?)(tf解.34)2()34(22sssssF(s))3)(1(21ssstteetf(t)32121)(223)(2ssssF例4已知，求?)(tf解一.jjj)j)(s(ssj)(sCjs221131lim11jij)j)(s(ssj)(sCjs221131lim12tjtjejjejjf(t))1()1(2222解二：jsC-jsCj)-j)(s(ssF(s)1111321jtjttejejej)2()2(21ttjejtsin4cos221ttetsin2cos22113)(ssF(s)tetef(t)ttsin2cos22221112111)(s)(ss221121)(ss0)()()(1npspssAII.当有重根时nnmmm-m-