高中数学-直线与抛物线的位置关系练习

-1-高中数学-直线与抛物线的位置关系练习A组基础巩固1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点解析：∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1,0)．又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部．∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0，直线与抛物线有两个公共点．答案：C2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．213B．215C．217D．219解析：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝5x1＋x22－4x1x2＝516－4＝215.答案：B3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．－12，12B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析：准线x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，由y＝kx＋，y2＝8x，得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.-2-综上，k的取值范围是[－1,1]．答案：C4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为()A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析：设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0.答案：D5．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A．217B.17C．215D.15解析：设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．由y＝kx－2，y2＝8x，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.∵直线与抛物线交于A、B两点，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1.又x1＋x22＝k＋k2＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)．∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋22·x1＋x22－4x1x2＝2－.＝215.答案：C6．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.13B.23C.23D.223解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞0，由y＝kx＋y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4.①∵|FA|＝x1＋p2＝x1＋2，|FB|＝x2＋p2＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②-3-由①②得x2＝1，∴B(1,22)，代入y＝k(x＋2)，得k＝223.答案：D7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是________．解析：设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，y21＋y22最小为32.答案：328．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．解析：可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，则由y＝x＋m，y2＝4x，消去x得y2－4y＋4m＝0.∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝|4－1|2＝322，则所求的最小距离为322.答案：3229．给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．解析：显然直线l的斜率存在，故可设直线l：y＝k(x－1)，联立y＝kx－y2＝4x，消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1x2＝1，故x1＝1x2，①又|FA|＝2|BF|，∴FA→＝2BF→，则x1－1＝2(1－x2)②由①②得x2＝12(x2＝1舍去)，所以B12，±2，得直线l的斜率为k＝kBF＝±22，∴直线l的方程为y＝±22(x－1)．B组能力提升10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若-4-线段AB的长为8，则p＝________.解析：∵Fp2，0，∴设AB：y＝x－p2，与y2＝2px联立，得x2－3px＋p24＝0.∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.答案：211．已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．解析：设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝|x0－y0＋3|2＝y202－y0＋32＝y0－2＋5|22，当y0＝1时，dmin＝522＝524，此时x0＝12，所以点P的坐标为12，1.答案：52412，112．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．解析：(1)直线AB的方程是y＝22x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0即x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设C(x3，y3)，则OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y33＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.13．抛物线y2＝x上，存在P、Q两点，并且P、Q关于直线y－1＝k(x－1)对称，求k的-5-取值范围．解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴y21＝x1y22＝x2⇒(y1－y2)(y1＋y2)＝(x1－x2)，∴y1－y2＝－1kx1－x2y1＋y22－1＝kx1＋x22－1，∴y1＋y2＝－k.∴－k2－1＝ky21＋y222－1＝k2[(y1＋y2)2－2y1y2－2]∴－k－2＝k[k2－2y1(－k－y1)－2]，∴2ky21＋2k2y1＋k3－k＋2＝0，∴Δ＝4k4－8k(k3－k＋2)＞0，∴k(－k3＋2k－4)＞0，∴k(k3－2k＋4)＜0，∴k(k＋2)(k2－2k＋2)＜0，∴k∈(－2,0)．14．已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证：(1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝2psin2θ；(2)1|AF|＋1|BF|为定值2p.解析：(1)当AB斜率存在时，设直线AB：y＝kx－p2，(k≠0)，由y＝kx－p2，y2＝2px，消去y得：k2x2－p(k2＋2)x＋k2p24＝0，∴x1＋x2＝1＋2k2p.又k＝tanθ＝sinθcosθ，代入|AB|＝x1＋x2＋p，得：|AB|＝sin2θ＋2cos2θsin2θ·p＋p＝2psin2θ.当AB斜率不存在时也成立．(2)由抛物线的定义，知：|FA|＝x1＋p2，|FB|＝x2＋p2，-6-∴1|FA|＋1|FB|＝1x1＋p2＋1x2＋p2当AB的斜率不存在时，x1＝x2＝p2，1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝1p＋1p＝2p.当AB的斜率存在时1|AF1|＋1|BF|＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24＝2＋2k2pp24＋p221＋2k2＋p24＝2＋2k2pp222＋2k2＝2p.∴总有1|AF|＋1|BF|＝2p.