自动控制原理拉氏变换

拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。13.1拉普拉斯变换的定义1.拉氏变换法例熟悉的变换1对数变换ABBAABBAlglglg把乘法运算变换为加法运算2相量法IIIiii2121相量正弦量把时域的正弦运算变换为复数运算)()s(tfF简写对应拉氏变换：时域函数f(t)(原函数)复频域函数F(s)(象函数)jss为复频率应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。2.拉氏变换的定义)s()()()s(dseFjtfdtetfFstjcjcst210正变换反变换t0,f(t)=0今后讨论的拉氏变换均为0拉氏变换,计及t=0时f(t)包含的冲击。一个定义在【0，+∞）区间的函数f(t),它的拉普拉斯变换式定义为：拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到s域内的复变函数F(s)注在t＝0至t＝0＋f(t)=(t)时此项0)()()()(SFtftfSF1简写正变换反变换dtetfdtetfdtetfSFststst0000)()()()(1象函数F(s)用大写字母表示,如I(s)，U(s)。原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。23象函数F(s)存在的条件：dtetfst0)(为收敛因子tes如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：),0[)(tMetfctdtMedtetftct00)s(s)(CMs则总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。3.典型函数的拉氏变换(1)单位阶跃函数的象函数)()(0dtetfSFst)()(ttfdtettsFst0)()]([)(01stess10dtest例13-1重点！熟记！(3)指数函数的象函数01)(taseasas1(2)单位冲激函数的象函数00dte)t(st)()(ttfdtettsFst0)()]([)(10seate)t(fdteee)s(Fstatat0熟记！熟记！13.2拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质dte)t(f)t(fst02211AAdte)t(fdte)t(fstst022011AA)S(F)S(F2211AA)S(F)S(F2211AA)S(F)t(f)S(F)t(f2211][,][若)t(f)t(f2211AA则)t(f)t(f2211AA)t(f)t(f2211AA证：重点！jS1jS1j2122S例13-2（1）的象函数求)sin()(:ttf解)(sin(s)tF)(tjtjeej21根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。例13-2（2）的象函数求)e-K(1)(:t-tfK(s)Ft-Ke-)(sKassKaasK熟记！2.微分性质0ststdtstfe0tfe))(()()s(s)0(Ffvduuvudv)(ss0f)(Fdt)t(df则)()(SFtf若：0stst0)t(dfedtedt)t(dfdt)t(df证：重点！022ss22ss的象函数求)t(tfcos)(:例13-3(1)解)(sin(1][costωdtdωtωdttωdωtωtωωdttωd)sin(1)(cos)(cos)sin()0()s(s)(fFdttdf熟记！的象函数求)()(:tδtf解dttεdtδ)()(s1)]([tε)]([tεdtd11SS)(tδ例13-3(2))0()s(s)(fFdttdf3.积分性质00)()()(ttdttfsφssFssFsφ)()()(])([0sφdttft证：令)()]([sFtf设：tdttfdtdtf0)()]([应用微分性质的象函数求ttf)(:例13-42111)(ssstfL解)(1])([0sFsdttft则：重点！熟记！4.延迟性质dteettfstttst000)(0)()(0sFest)()]([sFtf设：)()]([00sFettfst则：注000)(ttttf当dtettft-f(tst000)()证：τdeτfeτsst0)(00tt令延迟因子0ste重点！例13-51Ttf(t))()()(TtttfTsesssF11)(求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质)s()]([00Fettfst13.3拉普拉斯反变换的部分分式展开用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：(1)利用公式dsesFjπtfstjcjc)(21)((2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数)()()()(2sFsFsFsFn1)()()()(21tftftftfn(3)把F(S)分解为简单项的组合部分分式展开法为真分式，设)(sFmn利用部分分式可将F(s)分解为：象函数的一般形式：)()()()(110110mnbsbsbasasasDsNsFnnnmmmnnpskpskpsksF2211)(待定常数nppnsD10)(个单根分别为有若1)...)(()()(222111npsKpsKpsKsFps令s=p1)ps)(s(1ps11FK方法1、n、Fk32i)ps)(s(ipsii同理可以确定：)())((limsDpssNkipsii)()())((lim''sDsNpssNipsi因为pi是D(s)=0的一个根，故上面关于Ki的表达式为的不定式，可以用求极限的方法确定Ki的值。方法200、n、Fk32i)ps)(s(ipsii所以确定Ki各待定系数的另一公式为)()('iipDpNik相应原函数为重点！的原函数求sF10s7s1s2)s(2310143)`(2sssDtteetf526.05.01.0)(1.010s1431s2)p(D)p(NK0s21'11s5.0K2例13-6解:)5)(2(1210s7s1s2)s(23sssssFD(s)=0的根为：P1=0,p2=-2,p3=-56.0K352)s(321SKSKSKF一对共轭复根为：ωjαpωjαp21有共轭复根若0)(sD2重点！)KK()()(tjjtjjeeee][K)()(tjtjteee)cos(K2tetK1,K2也是一对共轭复根θ-jθjeKKeKK21设)KK()()(2)(1tjtjeetf一对共轭复根为：ωjαpωjαp21)t(f5s2s3s)s(2的原函数求Fjp,421s125.0505022s3s)`()(K1jjpse.j.sDsN)42cos(2)(tetft例13-7解的根：ss421s225.0505022s3sKjje.j.)cos(K2)(tetftθ-jθjeKKeKK21设具有重根若)(sD3现设D(s)中含有(s-p1)3的因式，p1为D(s)＝0的三重根，其余为单根，F(s)可分解为对于单根，仍采用公式计算。为了确定K11、K12和K13，将式(13-7)两边乘以(s-pi)3，则K11被单独分离，即则K11＝(s-p1)3F(s)|s＝p1重点！再对式(13-8)两边对s求导一次，K12被分离，即同样方法得推论得D(s)＝0具有q阶重根，其余为单根时分解式为式中：如D(s)＝0具有多个重根时，对每个重根分别利用上述方法即可得各系数。3112121322122)1s()1s()1s(sKKKsKK)t(f)1s(s1)s(F32的原函数求：1s11s211K2s2s11s31s212dsdK36211211s41s22213ssdsdK例13-8解)s(F以(s+1)3乘以F（s）231)()1(ssFs121K322K2322313)1(1)1(213)1(1)(ssssssssFtetteetfttt32123)(2以s2乘以F（s）得：32)1(1)(ssFs小结1.n=m时将F(s)化成真分式和多项式之和nnpsKpsKpsKAsF)(由F(s)求f(t)的步骤：2.求真分式分母的根，确定分解单元3.将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数4.对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。)()()(0sDsNAsF相量形式KCL、KVL元件复阻抗、复导纳相量形式电路模型UuIi13.4运算电路IZU基尔霍夫定律的时域表示：0(t)i0(t)u基尔霍夫定律的相量表示：0I0U相量法：1.电路定律的运算形式电路定律的运算形式：)()()()(sItisUtu元件运算阻抗、运算导纳运算形式的KCL、KVL运算形式电路模型)()()(sIsZsU0)I(s0)(sU运算法与相量法的基本思想类似：①把时间函数变换为对应的象函数②把微积分方程变换为以象函数为变量的线性代数方程u=Ri)()(sGUsI)()(sRIsU+u-iR+U(s)-I(s)RGsYRsZ)()(2.电路元件的运算形式①电阻R的运算形式取拉氏变换电阻的运算电路重点！dtdiLu)0()())0()(()(LisLIsisIsLsUsiLssUsI)0()()(sLsYsLsZ1)()(②电感L的运算形式i+u-L取拉氏变换+-sL)0(LiU(s)I(s)+-sL+-U(s)I(s)si)0(L的运算电路)0()s(s)(fFdttdf重点！dtiCuut01)0(susICssU)0()(1)()0()()(CusCUssIsCsYsCsZ)(1)(③电容C的运算形式+u-i取拉氏变换I(s)1/sCu(0-)/sU(s)+一1/sCCu(0-)I(s)U(s)C的运算电路)s(s1])([0FdttftdtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MisMIsiLsILssUMisMIsiLsILssU④耦合电感的运算形式**Mi2i1L1L2u1+–u2+–取拉氏变换sMsYsMsZMM1)()()0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MisMIsiLsILssUMisM