数字信号处理第七章-FIR数字滤波器设计

学习目标：•掌握线性相位FIR数字滤波器的特点•掌握窗函数设计法•理解频率采样设计法•理解IIR与FIR数字滤波器的比较第七章FIR数字滤波器设计IIR数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计FIR数字滤波器：可以严格线性相位，又可任意幅度特性全零点滤波器，因果稳定系统可用FFT计算当幅频特性指标相同（不考虑相位特性）时，FIRDF的阶次比IIRDF要高得多；但同时考虑幅频特性指标和线性相位时，FIRDF更易实现。主要对幅频特性进行逼进，相频特性会存在不同程度的非线性本章主要讲述：7.1线性相位FIRDF及其特点7.2用窗函数法设计FIRDF7.3利用频率采样法设计FIRDF7.5IIR与FIR数字滤器的比较7.1线性相位FIRDF及其特点传输函数幅度特性（可为负值）相位特性第一类线性相位严格线性函数：第二类线性相位满足为常数，为起始相位返回1线性相位FIRDF系统的群时延：群时延均为常数称为恒定群延时滤波器：返回回到本节对称：类型1:N为奇数，偶对称对称中心返回回到本节类型2:N为偶数，偶对称对称中心返回回到本节类型3:N为奇数，奇对称返回回到本节类型4:N为偶数，奇对称返回回到本节2线性相位的条件（1）时域约束：第一类线性相位：其中：返回回到本节•三角函数的恒等关系返回回到本节•满足上式的一组解关于求和区间的中心奇对称••则要求关于偶对称(n)h(1)/2N返回回到本节返回回到本节第二类线性相位：其中：返回回到本节•三角函数的恒等关系返回回到本节•满足上式的一组解关于求和区间的中心奇对称••则要求关于奇对称(n)h(1)/2N返回回到本节20)1(N20)5.0(N2偶对称)(nh奇对称)(nh图1线性相位特性返回回到本节①h(n)=h(N-n-1)，N为奇数–幅度特性为：–相位特性：–由于偶对称，因此，对这些频率也呈偶对称。（2）频率约束：返回回到本节10()NjjjngnHeHehne11(1)201[()(1)]2NMjjnjNnnNhehnehNne11()(1)221201[()()]2NMjjNnNjnnNehhnehne10[2()cos()]Mjnehhnn推导：返回回到本节②h(n)=h(N-n-1)，N为偶数–幅度特性：–相位特性：返回回到本节证明：11012(1)01/21()()20/210122()[()(1)][()()]2()cos()NjjjngnNjnjNnnNNjjnjnnNjNNnHeHehnehnehNneehnehneehnn返回回到本节–幅度特性为：–相位特性：–由于偶对称，因此对这些频率也呈偶对称。–由于/2102()cos()NjjjgnHeHeehnn返回回到本节③h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)•相位特性:3210[]NjNnjnnhnehne1()0NjjjngnHeHehne32101NjNnjnnhnehNne返回回到本节32101/21()()203122011223220[][()()]12sin22sinNjNnjjnnNNjjnjnnNNNNjnNjnHehnehneehnehneNjehnnehnn320()2sinNgnHhnn返回回到本节由于点呈奇对称，所以对这些点也奇对称。由于时，相当于H（z）在处有两个零点，不能用于的滤波器设计320()2sinNgnHhnn返回回到本节④h(n)奇对称，N为偶数•相位特性:•频率特性:320()2sinNgnHhnn•Hg()在=0，2处为零，即H(z)在z=1处有零点；•Hg()在=0，2奇对称，在=处偶对称。返回回到本节（3）线性相位FIRDF的零点分布特点将代入式得到：()(1)hnhNn10()()NnnHzhnz11001(1)0(1)1()()(1)()()NNnnnnNNmmNHzhnzhNnzhmzzHz返回回到本节返回()0iHz**,1/iizz即也是零点(1)1()()NHzzHz得：由1）若z=zi是H(z)的零点，则z=zi-1也是零点2）h(n)为实数，则零点共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对1(1)()()0NiiiHzzHz回到本节7.2窗函数设计FIRDF设计思想保证线性相位逼近理想滤波器•窗口设计法（时域逼近）•频率采样法（频域逼近）一般情况下是无穷序列，需对其进行截断，即时域加窗加窗的影响窗函数的设计返回本节主要讲述：7.2.1用窗函数法设计FIRDF的基本方法7.2.2窗函数法的设计性能分析7.2.3典型窗函数介绍7.2.4用窗函数法设计FIRDF的步骤返回7.2.1用窗函数法设计FIRDF的基本方法具体设计步骤：（1）构造希望逼近的频率响应函数。以低通线性相位FIRDF设计为例，一般选择为线性相位理想低通滤波器，即（7.2.1）（2）求出。对进行IFT得到()jdHe()jdHejcjdce,≤(e)0,≤H()jdHe()dhnccjjjjcddsin[()]11()(e)edeed22()nnnhnHn返回回到本节（3）加窗得到FIRDF的单位脉冲响应h(n)式中，w(n)称为窗函数，其长度为N。如果要求设计第一类线性相位FIRDF，则要求h(n)关于(N-1)/2点偶对称。而hd(n)关于n=τ点偶对称，所以要求τ=(N-1)/2。同时要求w(n)关于(N-1)/2点偶对称。d()()()hnhnwn返回回到本节例：理想低通滤波器N=31，/4c返回回到本节7.2.2窗函数法的设计性能分析矩形窗函数：其频率响应为：返回回到本节•理想滤波器•加窗得到的FIRDF的单位脉冲响应为•h(n)的频率响应函数返回回到本节返回回到本节•幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与窗函数幅度特性的卷积•相位保持严格线性•因此，只需分析幅度逼近误差返回回到本节返回回到本节卷积结果矩形窗对理想低通幅度特性的影响返回回到本节对加矩形窗处理后，其频率响应的几点影响：•改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为等于的主瓣宽度。（决定于窗长）•通带、阻带均有纹波，纹波取决于的旁瓣，旁瓣幅度大，纹波幅度大，与窗口长度N无关。（决定于窗口形状）•N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。•N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值变大，起伏变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。N4返回回到本节改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。返回回到本节1．矩形窗（RectangleWindow）窗函数的几个参数:旁瓣峰值n—窗函数的幅频函数的最大旁瓣的最大值相对主瓣最大值的衰减（dB）；过渡带宽度B—用该窗函数设计的FIRDF的过渡带宽度；阻带最小衰减s—用该窗函数设计的FIRDF的阻带最小衰减。jjRRRg(e)FT[()]()e,(1)/2WwnWNg()W7.2.3典型窗函数介绍返回回到本节矩形窗的四种波形如图：返回回到本节矩形窗函数的损耗函数曲线：（N=21,31,63时）主瓣宽度与N成反比，即滤波器过渡带宽度与N成反比，但是旁瓣峰值并不随N增大而变化，返回回到本节2．三角窗（BartlettWindow）B21，0≤≤12()212，≤112nNnNwnnNnNN2jj(1)/2BB2sin(/4)(e)FT[()]esin(/2)NNWwnN2Bg2sin(/4)()sin(/2)NWN单位脉冲响应：频率响应：其主瓣宽度为，第一旁瓣比主瓣低26dB。返回回到本节三角窗的四种波形如图：返回回到本节3．升余弦窗（汉宁窗:HanningWindow）hn2()0.51cos()120.5()()cos1NNNnwnRnNnRnRnN窗函数：频率响应：11222112211220.50.25[1]1220.50.2511NNjjjNhnRgRgNjNRgNjRgRgRgWeWeWeNWeN返回回到本节当N1，可近似为：•三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍，为12220.50.25NjjhnRgRgRgWe220.50.25jhngRgRgRgWe返回回到本节汉宁窗的四种波形如图：返回回到本节4．改进升余弦窗（哈明窗:HammingWindow）hm2()0.540.46cos()1NnwnRnNjj(1)/2hmhmhmg(e)FT[()]()eNWwnWhmgRgRgRg22()0.54()0.230.23窗函数：频率响应：返回回到本节•当N1，可近似为：•是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。返回回到本节哈明窗的四种波形如图：返回回到本节5．布莱克曼窗（BlackmanWindow）窗函数:•增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，增加N可减少过渡带频率响应：24()0.420.5cos0.08cos()11blNnnwnRnNN)12()12(25.0)(42.0)(NWN)14()14(04.0NWNWRR返回回到本节布莱克曼窗的四种波形如图：返回回到本节6．凯塞窗（KaiserWindow）•以上五种窗函数，滤波器的阻带衰减是固定的•不同的窗函数通过增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。•凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。•对给定的指标，凯塞窗函数可以使滤波器阶数最小。凯塞窗函数:返回回到本