量子力学-第一章-答案

解:(1)直角坐标系),,(zyxsincossinsincosxNyNzNFFFFFmgF常数222222222cossincossinzyxryxxyxyrzryx1.1质量为m的质点，约束在半径为r的光滑半球形碗的内壁运动。试应用牛顿第二定律分别用直角坐标，柱坐标和球坐标写出质点运动的微分方程。(2)柱坐标),,(zR0cossinFFmgFFFNzNR常数rrRrzsincos(3)球坐标),,(r0sincosFmgFFmgFNrcosmgsinmgNFmgcossinmg00rrr常数，b解:NrFFF,00,)0(,0)0(0)0(,)0(rbr已知：设：tteetr21)(tteetr21)(br21)0(0)0(21r)2()2()1(0)(2NFrmrrm1.4一光滑的杆在水平面上绕其上的一点O以等角速度ω转动，一质点被约束在杆上自由运动。已知t=0时，质点离O点的距离为b并相对于杆静止。试求质点的运动规律和杆对质点的作用力。br21)0(0)0(21rb21021221btbcheebtrtt)(2)()2(rmFN)(22tteebmtbshm22tteetr21)(双曲正弦双曲余弦1.7一质点以恒定速率沿一曲线运动.证明该质点的速度V始终与加速度a垂直.证明:tedteddtededtdatttnnnntteedtdSedtdedteddted1ntedteda20)()(2nteeaatene'tete1.9一质点用一轻的弹性绳系于固定点A,绳子的固有长度为ℓ1,平衡时的长度为ℓ1+ℓ2.设质点由A点从静止开始自由下落,不计空气阻力,写出质点的运动方程,并求质点自A点落至最低点D所需要时间和A、D间的距离.21121mVmgl112glVglgVt11120解：（1）从A点到原长位置，此时间内为自由落体运动。根据能量守恒：所以到原长位置时：因为加速度为g，所以，到达原长的时间为:（2）从原长位置到最低点D处，以原长位置为坐标原点，向下为正方向，建立坐标轴Z。mgklzmkzmg2化简得：gzlgz2解微分方程得：22221sincosltlgCtlgCz因为t2=0时，z=0,112glVz所以,tlggltlgglzltlglltlglz2122222122cos2sin,sin2cos0z当时，0z212221122)2(,)2tan(llllzllglt此时（3）所以总时间为)2tan(22112121llglgltttA,D间总距离为:)2(1222121lllllzzstlggltlgglzltlglltlglz2122222122cos2sin,sin2cosATFmgmcosmgFT解:2sintanmlmgcos2lgsincossinllglVsincosglglTcos221.10质量为m的小球,系于长为L的无弹性的轻绳端点上,绳的另一端挂于A点.求小球的速率V,绳子的张力FT和小球运动一周所需的时间.1.13质点A约束在光滑水平平台上运动,在此质点上系着一根长为ℓ的轻绳,绳子穿过平台上的小孔,另一端垂直地挂着另一个质点B.(1)问此力学体系的动量、角动量、能量是否守恒,并解释之;(2)用质点系动量定理写出体系的运动微分方程;(3)若t=0时,质点A离O的距离为a,速度为其方向垂直于OA,且mA=mB=m,证明以后质点A离O点的距离始终在a和3a之间.,2/90ag解：（1）以竖直向下为正方向，系统所受合力故系统动量不守恒.而对系统来说，唯一做功的是重力（保守力），因此，系统能量守恒。gmgmgmFFBBAN对O点，合力矩为零，所以系统角动量守恒；θ（2）建立柱面坐标系，由动量定理得：(3)对于小球A，设其在水平平台最远距离o为r时由动能定理得：由角动量守恒得：故:小球在a到3a间运动。kgmkzmerermdtdBBrA])([lzrgmzlzmzmBAB)(220)2)1[(zzmA)(2121220argmmmBAAAArmam0得:ar3而由初始时刻gmamBA20mmmBA,2/90agθ解：把A、B看作系统，由动量定理知其质心速度满足:c0)m(BcBAmm所以得:AmBm01.17在光滑的水平面上有两个质量各为和的质点，它们用一根长为ℓ的轻棒联系着，在t=0时，质点A静止，质点B的速度为,方向垂直于AB，用同一组坐标写出此力学体系的动量、角动量和动能的表示式，并讨论其以后的运动情况。BABcmmm0BABmmlmr1BAAmmlmr2易知A、B各绕质心做半径为的圆周运动.和由初始条件得l0xy0AmBm),(CCyxlrrrmrmBA2121以质心C点的坐标和及杆和x轴的夹角为坐标:CxCysincos11ryyrxxCACAsincos22ryyrxxCBCBcossin11ryyrxCAAcossin22ryyrxCBBBABmmlmr1BAAmmlmr2yAmx0Bm),(CCyxAmBm1r2r)()(jyixmjyixmpBBBAAAjmjymmBCBA0)（)(21)(212222BBBAAAyxmyxmT0222221m21)(21BBABACBAmlmmmymmTklmklmmmkyxmLBBABACCBA022m)m()()()()(jymixmjyixjymixmjyixLBBBBBBAAAAAAsincos11ryyrxxCACAcossin11ryyrxCAAsincos22ryyrxxCBCBcossin22ryyrxCBB解:rmr,已知：?)(V求：rmrL21MMMdtdLsincos)(201grgrrdMrgrM2)(sin221grMMM2mrL)(sin22grmrdtdLdm2M1Mdmg1.19在铅直平面内有一光滑的半圆形管道(见图),半径为r,管道内有一长为πr,质量为ρπr的链条.假定链条由于轻微扰动而从管口向外滑出,试用角动量定理求出链条位于任一角度θ时的速度v.dtd02022)sin(2dgrdmr)1cos2(22222grmr)1cos2(2)(2222rgrrV)1cos2(2)(2rgV)(sin22grmrdtdLdddtddddd221两边积分：1.23总长度为L的软链放在水平光滑的桌面上,此时长为l的一部分链条从桌上下垂,起始时链条是静止的，求当链条末端滑到桌子边缘时链的速度v和所需的时间.xyOlTTP解:TyyLdtd])([设链条的线密度为则：Tygyydtd)(ygyyLdtdyydtd])([)(ygyLdtd)(ygyLdtd)(ygdtydLygdyydyLdydydtydLdtydLydyLgydyydygLydyyly10)(221222lyLgy)(22lyLgy时：当Ly)(22lLLg所需时间：LllyLgdyt)(22LlLllyygLlyLgdyt)ln()(2222)]ln([ln(2222llllLLgLllLLgLt22ln所需时间：解:,)(rxoy平面极坐标：在水平方向注意：惯性系：0cossin2sin2Rr2cos2sin2RRr,cos2Rrtmsin)2(cos)(2NNrFFrrmFFrrmereNFt1.24质量为m的小球串在半径为R的光滑圆环上,并可沿圆环自由滑动.如环在水平面内以等角速度ω绕环上一点O转动,写出小球的运动方程.