函数的奇偶性经典例题

精品资料欢迎下载2．4函数的奇偶性【知识网络】1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题．【典型例题】例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数()fx为奇函数的充要条件是(0)0f；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）．A．1B．2C．3D．4提示：①不对，如函数21()fxx是偶函数，但其图象与y轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕，答案为A．（2）已知函数2()3fxaxbxab是偶函数，且其定义域为［1,2aa］，则（）A．31a，b＝0B．1a，b＝0C．1a，b＝0D．3a，b＝0提示：由2()3fxaxbxab为偶函数，得b＝0．又定义域为［1,2aa］，∴(1)20aa，∴31a．故答案为A．（3）已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()2fxxx，则()fx）在R上的表达式是（）A．(2)yxxB．(||2)yxxC．||(2)yxxD．(||2)yxx提示：由0x时，2()2fxxx，()fx是定义在R上的奇函数得：当x＜0时，0x，2()()(2)(2)fxfxxxxx∴(2)(0)()(2)(0)xxxfxxxx，即()(||2)fxxx，答案为D．（4）已知53()8fxxaxbx，且(2)10f，那么f（2）等于26提示：53()8fxxaxbx为奇函数，(2)818f，∴(2)818f，∴(2)26f．（5）已知()fx是偶函数，()gx是奇函数，若11)()(xxgxf，则()fx的解析式为提示：由()fx是偶函数，()gx是奇函数，可得11)()(xxgxf，联立11)()(xxgxf，得：21111()()1211fxxxx，∴11)(2xxf例2．判断下列函数的奇偶性：（1）1()(1)1xfxxx；(2)22()11fxxx；（3）22lg(1)()|2|2xfxx；（4）22(0)()(0)xxxfxxxx．解：（1）由101xx，得定义域为[1,1)，关于原点不对称，∴()fx为非奇非偶函数．精品资料欢迎下载(2)222101110xxxx，∴()0fx∴()fx既是奇函数又是偶函数．（3）由2210|2|20xx得定义域为(1,0)(0,1)，∴22lg(1)()(2)2xfxx22lg(1)xx，∵2222lg[1()]lg(1)()()xxfxxx()fx∴()fx为偶函数（4）当0x时，0x，则22()()()()fxxxxxfx，当0x时，0x，则22()()()()fxxxxxfx，综上所述，对任意的(,)x，都有()()fxfx，∴()fx为奇函数．例3．若奇函数()fx是定义在（1，1）上的增函数，试解关于a的不等式：2(2)(4)0fafa．解：由已知得2(2)(4)fafa因f(x)是奇函数，故22(4)(4)fafa，于是2(2)(4)fafa．又()fx是定义在（1，1）上的增函数，从而22322412113321415335aaaaaaaaa或即不等式的解集是(3,2)．例4．已知定义在R上的函数()fx对任意实数x、y，恒有()()()fxfyfxy，且当0x时，()0fx，又2(1)3f．（1）求证：()fx为奇函数；（2）求证：()fx在R上是减函数；（3）求()fx在[3，6]上的最大值与最小值．（1）证明：令0xy，可得(0)(0)(00)(0)ffff，从而，f(0)=0．令yx，可得()()()(0)0fxfxfxxf，即()()fxfx，故()fx为奇函数．（2）证明：设12,xx∈R，且12xx，则120xx，于是12()0fxx．从而121222122212()()[()]()()()()()0fxfxfxxxfxfxxfxfxfxx所以，()fx为减函数．（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为(3)f，最小值为(6)f．(3)(3)[(2)(1)][2(1)(1)]3(1)2fffffff(6)(6)[(3)(3)]4ffff于是，()fx在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．【课内练习】1．下列命题中，真命题是（C）精品资料欢迎下载A．函数1yx是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数30(1)yxx是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数2yx是偶函数，且在（3，0）上为减函数D．函数2(0)yaxcac是偶函数，且在（0，2）上为增函数提示：A中，1yx在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当0a时，2(0)yaxcac在（0，2）上为减函数，答案为C．2．若)(x，()gx都是奇函数，()()()2fxaxbgx在（0，＋∞）上有最大值5，则()fx在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－3提示：)(x、()gx为奇函数，∴)()(2)(xbgxaxf为奇函数．又()fx有最大值5，∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．∴()fx－2在(,0)上有最小值－3，∴()fx在(,0)上有最小值－1．答案为C．3．定义在R上的奇函数()fx在（0，+∞）上是增函数，又(3)0f，则不等式()0xfx的解集为（A）A．（－3，0）∪（0，3）B．（－∞，－3）∪（3，+∞）C．（－3，0）∪（3，+∞）D．（－∞，－3）∪（0，3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A．4.已知函数()yfx是偶函数，(2)yfx在［0，2］上是单调减函数，则（A）A.(0)(1)(2)fffB.(1)(0)(2)fffC.(1)(2)(0)fffD.(2)(1)(0)fff提示：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴()fx在［－2，0］上单调递减.∵()yfx是偶函数，∴()fx在［0，2］上单调递增.又(1)(1)ff，故应选A.5．已知()fx奇函数，当x∈（0，1）时，()fxlgx11，那么当x∈（－1，0）时，()fx的表达式是lg(1)x．提示：当x（－1，0）时，x∈（0，1），∴1()()lglg(1)1fxfxxx．6．已知xaxaxf2log)(3是奇函数，则2007a＋2007a=2008．提示：32(0)log0afa，21aa，解得：1a，经检验适合，200720072008aa．7．若()fx是偶函数，当x∈［0，+∞)时，()1fxx，则(1)0fx的解集是{|02}xx提示：偶函数的图象关于y轴对称，先作出()fx的图象，由图可知()0fx的解集为{|11}xx，∴(1)0fx的解集为{|02}xx.8．试判断下列函数的奇偶性：（1）()|2||2|fxxx；（2）331)(2xxxf；（3）0)1(||)(xxxxf．解：（1）函数的定义域为R，()|2||2||2||2|()fxxxxxfx，故()fx为偶函数．精品资料欢迎下载（2）由210|3|30xx得：110xx且，定义域为[1,0)(0,1]，关于原点对称，2211()33xxfxxx，21()()xfxfxx，故()fx为奇函数．（3）函数的定义域为(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数．9．已知函数()fx对一切,xyR，都有()()()fxyfxfy，若(3)fa，用a表示(12)f．解：显然()fx的定义域是R，它关于原点对称．在()()()fxyfxfy中，令yx，得(0)()()ffxfx，令0xy，得(0)(0)(0)fff，∴(0)0f，∴()()0fxfx，即()()fxfx，∴()fx是奇函数．∵(3)fa，∴(12)2(6)4(3)4(3)4ffffa．10．已知函数21()(,,)axfxabcZbxc是奇函数，又，(1)2f，(2)3f，求a、b、c的值.解：由()()fxfx得()bxcbxc∴c=0.又(1)2f，得12ab，而(2)3f，得4131aa，解得12a.又aZ，∴0a或1a.若0a，则b=12Z，应舍去；若1a，则b=1∈Z.∴1,1,0abc.