狄拉克(Dirac)符号

1狄拉克符号（狄拉克符号（狄拉克符号（狄拉克符号（DiracDiracDiracDirac））））1111狄拉克符号狄拉克符号狄拉克符号狄拉克符号量子体系状态的描述量子体系状态的描述量子体系状态的描述量子体系状态的描述，，，，前述波动力学和矩阵力学两种方法前述波动力学和矩阵力学两种方法前述波动力学和矩阵力学两种方法前述波动力学和矩阵力学两种方法，，，，其共同特点是其共同特点是其共同特点是其共同特点是：：：：与体系有关的与体系有关的与体系有关的与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，，，，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。而展开系数模平方具有力学量概率的含义。而展开系数模平方具有力学量概率的含义。而展开系数模平方具有力学量概率的含义。问题问题问题问题：：：：能否不从单一角度描述体系能否不从单一角度描述体系能否不从单一角度描述体系能否不从单一角度描述体系，，，，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--------态矢，并引进了一套态矢，并引进了一套态矢，并引进了一套态矢，并引进了一套““““狄拉克符号狄拉克符号狄拉克符号狄拉克符号””””，，，，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。1.11.11.11.1狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入1.1.11.1.11.1.11.1.1态空间态空间态空间态空间任何力学量完全集的本征函数系任何力学量完全集的本征函数系任何力学量完全集的本征函数系任何力学量完全集的本征函数系{})(xun作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例）））），，，，微观体系的状态波函数微观体系的状态波函数微观体系的状态波函数微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有作为该空间的一个态矢，有作为该空间的一个态矢，有作为该空间的一个态矢，有∑=nnnuaψ（（（（1111））））na即为态矢即为态矢即为态矢即为态矢ψ在基矢在基矢在基矢在基矢nu上的分量上的分量上的分量上的分量，，，，态矢态矢态矢态矢ψ在所有基矢在所有基矢在所有基矢在所有基矢{}nu上的分量上的分量上的分量上的分量{}na构成了态矢在构成了态矢在构成了态矢在构成了态矢在{}nu这个这个这个这个表象中的表示（矩阵）表象中的表示（矩阵）表象中的表示（矩阵）表象中的表示（矩阵）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⋮⋮naaa21ψ()⋯⋯,,,,**2*1naaa=+ψ（（（（2222））））微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间注意注意注意注意：：：：（（（（1111））））式中的式中的式中的式中的nu只是表示某力学量的本征态只是表示某力学量的本征态只是表示某力学量的本征态只是表示某力学量的本征态，，，，而抛开其具体表象而抛开其具体表象而抛开其具体表象而抛开其具体表象；；；；（（（（2222））））式的右方是式的右方是式的右方是式的右方是ψ的的的的{}nu表象表象表象表象1.1.21.1.21.1.21.1.2态空间中内积（标积）的定义态空间中内积（标积）的定义态空间中内积（标积）的定义态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态矢设态空间中两个任意态矢设态空间中两个任意态矢设态空间中两个任意态矢Aψ与与与与Bψ在同一表象在同一表象在同一表象在同一表象{}nu中的分量表示各为中的分量表示各为中的分量表示各为中的分量表示各为{}na与与与与{}nb，则两，则两，则两，则两态矢内积的定义为态矢内积的定义为态矢内积的定义为态矢内积的定义为()∑=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=+nnnnnBAbabbbaaa*21**2*1,,,,⋮⋮⋯⋯ψψ（（（（3333））））注意：注意：注意：注意：ABBAψψψψ++≠1.1.31.1.31.1.31.1.3狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入态空间中的态空间中的态空间中的态空间中的ψ与与与与+ψ在形式上具有明显的不对称性在形式上具有明显的不对称性在形式上具有明显的不对称性在形式上具有明显的不对称性，，，，狄拉克认为它们应该分属于两个不同狄拉克认为它们应该分属于两个不同狄拉克认为它们应该分属于两个不同狄拉克认为它们应该分属于两个不同2的空间的空间的空间的空间⇒伴随空间伴随空间伴随空间伴随空间引入符号引入符号引入符号引入符号，称为右矢，称为右矢，称为右矢，称为右矢[[[[KetKetKetKet矢，矢，矢，矢，BraBraBraBra矢（矢（矢（矢（BracketBracketBracketBracket括号括号括号括号））））]]]]微观体系的一个量子态微观体系的一个量子态微观体系的一个量子态微观体系的一个量子态ψ用用用用ψ表示表示表示表示，，，，ψ的集合构成右矢空间的集合构成右矢空间的集合构成右矢空间的集合构成右矢空间，，，，ψ在右矢空间中的分量表在右矢空间中的分量表在右矢空间中的分量表在右矢空间中的分量表示可记为矩阵示可记为矩阵示可记为矩阵示可记为矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⋮⋮naaa21ψ（（（（4444））））约定：右矢空间的态矢约定：右矢空间的态矢约定：右矢空间的态矢约定：右矢空间的态矢⋯,,,BAψψψ一律用字母一律用字母一律用字母一律用字母⋯,,,BAψψψ表示表示表示表示力学量的本征态矢一律用量子数力学量的本征态矢一律用量子数力学量的本征态矢一律用量子数力学量的本征态矢一律用量子数⋯⋯,,,2,1nlmn，或连续本征值，或连续本征值，或连续本征值，或连续本征值λ表示表示表示表示引入符号引入符号引入符号引入符号，，，，称为左矢称为左矢称为左矢称为左矢微观体系的一个量子态微观体系的一个量子态微观体系的一个量子态微观体系的一个量子态ψ也可用也可用也可用也可用ψ表示表示表示表示，，，，但在同一表象中但在同一表象中但在同一表象中但在同一表象中ψ与与与与ψ的分量互为共轭复数的分量互为共轭复数的分量互为共轭复数的分量互为共轭复数()⋯⋯,,,,**2*1naaa=ψ（（（（5555））））ψ的集合构成左矢空间的集合构成左矢空间的集合构成左矢空间的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后，任意两个态矢引入狄拉克符号后，任意两个态矢引入狄拉克符号后，任意两个态矢引入狄拉克符号后，任意两个态矢BA,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和量之积的和量之积的和量之积的和∑=++=nnnnnbababaAB***11|⋯⋯（（（（6666））））这里这里这里这里*||=BAABλ|,|n仍为抽象的本征矢仍为抽象的本征矢仍为抽象的本征矢仍为抽象的本征矢1.21.21.21.2基矢的狄拉克符号表示基矢的狄拉克符号表示基矢的狄拉克符号表示基矢的狄拉克符号表示1.2.11.2.11.2.11.2.1离散谱离散谱离散谱离散谱力学量完全集的本征函数力学量完全集的本征函数力学量完全集的本征函数力学量完全集的本征函数{}nu具有离散的本征值具有离散的本征值具有离散的本征值具有离散的本征值{}nQ时时时时，，，，对应的本征矢对应的本征矢对应的本征矢对应的本征矢n|,2|,1|⋯或或或或nlm|等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⋮0011|⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⋮0102|……………………←⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⋮⋮010|n第第第第nnnn行行行行（（（（7777））））（（（（1111）基矢具有正交归一性）基矢具有正交归一性）基矢具有正交归一性）基矢具有正交归一性mnnmδ=|（（（（8888））））3（（（（2222）展开定理）展开定理）展开定理）展开定理∑=nnna||ψ（（（（9999））））两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘|m得得得得∑∑===nmmnnnnaanmamδψ||（（（（10101010））））说明展开系数是态矢在基矢上的分量说明展开系数是态矢在基矢上的分量说明展开系数是态矢在基矢上的分量说明展开系数是态矢在基矢上的分量（（（（3333）封闭性）封闭性）封闭性）封闭性把把把把=ψ|nan代入代入代入代入ψ|中得，中得，中得，中得，=∑ψψ|||nnn所以所以所以所以1||=∑nnn（（（（11111111））））称为基矢的封闭性称为基矢的封闭性称为基矢的封闭性称为基矢的封闭性※※※※狄拉克符号运算中非常重要的关系式狄拉克符号运算中非常重要的关系式狄拉克符号运算中非常重要的关系式狄拉克符号运算中非常重要的关系式1.2.21.2.21.2.21.2.2连续谱连续谱连续谱连续谱当力学量本征值构成连续谱当力学量本征值构成连续谱当力学量本征值构成连续谱当力学量本征值构成连续谱λ时，对应的基矢记为时，对应的基矢记为时，对应的基矢记为时，对应的基矢记为{}λ|（（（（1111）正交归一性）正交归一性）正交归一性）正交归一性)(|λλδλλ′−=′（（（（12121212））））（（（（2222）展开定理）展开定理）展开定理）展开定理∫′′=λλψλda||（（（（13131313））））=ψλλ|a（（（（14141414））））（（（（3333）封闭性）封闭性）封闭性）封闭性1||=∫λλλd（（（（15151515））））注意注意注意注意：：：：⋯λ|,|,|nlmn只表示某力学量抽象的本征矢只表示某力学量抽象的本征矢只表示某力学量抽象的本征矢只表示某力学量抽象的本征矢，，，，例如例如例如例如′x|只表示本征值为只表示本征值为只表示本征值为只表示本征值为x′的力的力的力的力学量学量学量学量x的本征矢，而具体的基矢形式为：的本征矢，而具体的基矢形式为：的本征矢，而具体的基矢形式为：的本征矢，而具体的基矢形式为：x表象中表象中表象中表象中)()(|xxxuxx′−==′δ，动量表象中，动量表象中，动量表象中，动量表象中pxipexuxpℏℏ−==2/1)2(1)(|π，同理，同理，同理，同理)(|xunxn=)(|punpn=1|=nn),,(|ϕθψrnlmxnlm=pxiepxℏℏ2/1)2(1|π=1.31.31.31.3态矢在基矢下的形式态矢在基矢下的形式态矢在基矢下的形式态矢在基矢下的