康托尔集合论

康托尔集合论集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。康托尔集，格奥尔格·康托尔在1883年引入，是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。将基本区间[]0,1用分点13，23与三等分，并除去中间的开区间（13，23）。把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间（19，29），（79，89）。然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。这样便得到康托尔三分集0P与开集0G0G=（13，23）∪（213，223）∪（273，283）∪（313，323）∪（373，383）∪（3193，3203）∪（3253，3263）∪…0P是0G的补集。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间[0,1]中的点组成。康托尔三分集的性质及证明（1）0P是一个闭集，不含有任何区间。这是显然的，0G是任意个开集的并，所以0G仍是开集，0P是0G的补集，所以0P是闭集。这表明不含有任何区间的闭集是存在的。（2）0P是完全集证明：要证0P是完全集即证它不含有孤立点。假设0P有一孤立点0x，则存在（α，β）使（α，β）中不含0P中除0x以外的任一点。所以（α，0x）0G，（0x，β）0G。于是0x将成为0G的某两个区间的公共端点，但由于0G的做法是不可能的。所以不存在这样的点0x，与假设矛盾，所以得证0P是完全集。（3）0P是不可列的证明：假设0P是可列的，将0P中点编号成点列1x，2x，…，kx…，也就是说，0P中任一点必在上述点列中出现。显然，10,3与2,13中应有一个不含有1x，用1I表示这个闭区间。将1I三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含2x，用2I表示它。然后用3I表示三等分2I时不含3x的左或右的那个闭区间，如此等等。这样，根据归纳法，得到一个闭区间列NkkI}{。由所述取法知，1I2I…kI…，kxÏkI，kN，同时，易见kI的长为13k0（k）。于是根据数学分析中区间套定理，存在点xÎkI，kÎN。可是x是kI等的端点集的聚点，从而是闭集0P的聚点，故xÎ0P。由于上面已指出kxÏkI，kN，故x¹kx，kÎN。这是一个矛盾。故0P不可列。（4）0P的势等于À与[]0,1同势证明：引进[]0,1中小数的三进表示来考察区间（13，23）中每个点x可表示成x=0.12x3x…，其中2x，3x，…是0，1，2三个数字中之一。这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字1）：13=0.0222…，23=0.2000…，区间（213，223），（273，283）中的点x可表示成x=0.013x4x…或x=0.213x4x…，其中3x，4x，…是0，1，2中任一数字。而区间端点则采用（不出现数字1）：213=0.0022…，273=0.2022…，223=0.0200…，283=0.2200…。如此等等。根据归纳法分析可知，依上述规定，0G中的点的三进表示中必有一位数字是1，且只有这样的点才属于0G。因而0P与集A={0.1x2x3x…：每个kx{0，2}}成一一对应。且A显然与[]0,1对等，故A的势为À，从而0P的势为À。（5）m0P=0证明：因为0G是开集由测度的定义有m0G=13+223+…++=1m0P=1-m0G=1-1=0我们得到0P是一个测度为零的不可列集。（6）0P是稀疏集因为0P=0P，不能包含R中的任何一个邻域，所以0P不在R中的任何一个邻域中稠密，故0P是稀疏集。康托尔三分集因为具有以上特殊的性质，是一个很典型的特例能来说明实变函数中的很多问题，在实变函数中占有很重要的地位。