您好,欢迎访问三七文档
1、康托尔集合论集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立,它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。所谓“实无限”,即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如,在集合论中用N={n:n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是,在此之前的几千年数学发展史中,占主导地位的是另一种无限观,即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无限”,是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如,把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1,2,3,…,n,…就是如此。集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革,由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便,因而逐渐为许多数学家所接受。实数理论奠定在集合论的基础上,而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来,而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此,集合论就成了全部数学的基础,而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。康托尔集,格奥尔格·康托尔在1883年引入,是位于一条线段上的一些点的集合,具有许多显著和深刻的性质。通过考虑。
2、这个集合,康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合,但是最常见的构造是康托尔三分点集,由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造,作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。将基本区间[]0,1用分点13,23与三等分,并除去中间的开区间(13,23)。把余下的两个闭区间各三等分,并除去中间的开区间(19,29),(79,89)。然后再将余下的四个闭区间同法处理,如此等等。这样便得到康托尔三分集0P与开集0G0G=(13,23)∪(213,223)∪(273,283)∪(313,323)∪(373,383)∪(3193,3203)∪(3253,3263)∪…0P是0G的补集。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间[0,1]中的点组成。康托尔三分集的性质及证明(1)0P是一个闭集,不含有任何区间。这是显然的,0G是任意个开集的并,所以0G仍是开集,0P是0G的补集,所以0P是闭集。这表明不含有任何区间的闭集是存在的。(2)0P是完全集证明:要证0P。
3、是完全集即证它不含有孤立点。假设0P有一孤立点0x,则存在(α,β)使(α,β)中不含0P中除0x以外的任一点。所以(α,0x)0G,(0x,β)0G。于是0x将成为0G的某两个区间的公共端点,但由于0G的做法是不可能的。所以不存在这样的点0x,与假设矛盾,所以得证0P是完全集。(3)0P是不可列的证明:假设0P是可列的,将0P中点编号成点列1x,2x,…,kx…,也就是说,0P中任一点必在上述点列中出现。显然,10,3与2,13中应有一个不含有1x,用1I表示这个闭区间。将1I三等分后所得的左与右两个闭区间中,应有一个不含2x,用2I表示它。然后用3I表示三等分2I时不含3x的左或右的那个闭区间,如此等等。这样,根据归纳法,得到一个闭区间列NkkI}{。由所述取法知,1I2I…kI…,kxÏkI,kN,同时,易见kI的长为13k0(k)。于是根据数学分析中区间套定理,存在点xÎkI,kÎN。可是x是kI等的端点集的聚点,从而是闭集0P的聚点,故xÎ0P。由于上面已指出kxÏkI,kN,故x¹kx,kÎN。这是一个矛盾。故0P不可列。(4。
4、)0P的势等于À与[]0,1同势证明:引进[]0,1中小数的三进表示来考察区间(13,23)中每个点x可表示成x=0.12x3x…,其中2x,3x,…是0,1,2三个数字中之一。这区间的两个端点均有两种表示,规定采用(不出现数字1):13=0.0222…,23=0.2000…,区间(213,223),(273,283)中的点x可表示成x=0.013x4x…或x=0.213x4x…,其中3x,4x,…是0,1,2中任一数字。而区间端点则采用(不出现数字1):213=0.0022…,273=0.2022…,223=0.0200…,283=0.2200…。如此等等。根据归纳法分析可知,依上述规定,0G中的点的三进表示中必有一位数字是1,且只有这样的点才属于0G。因而0P与集A={0.1x2x3x…:每个kx{0,2}}成一一对应。且A显然与[]0,1对等,故A的势为À,从而0P的势为À。(5)m0P=0证明:因为0G是开集由测度的定义有m0G=13+223+…++=1m0P=1-m0G=1-1=0我们得到0P是一个测度为零的不可列集。(6)0P是稀疏集因为0P=0P,不能包含R中的任何一个。
5、邻域,所以0P不在R中的任何一个邻域中稠密,故0P是稀疏集。康托尔三分集因为具有以上特殊的性质,是一个很典型的特例能来说明实变函数中的很多问题,在实变函数中占有很重要的地位。。
本文标题:康托尔集合论
链接地址:https://www.777doc.com/doc-7097525 .html