高等代数知识点总结精编版

第一学期第一次课第一章代数学的经典课题§1若干准备知识1.1.1代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。1.1.2数域的定义定义（数域）设K是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且K对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K内任意两个数a、b（a可以等于b），必有baKbababKK为一个数域。/0时，，且当，，则称K例1.1典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q(i)={i|∈Q}，其中i=baba,1。命题任意数域K都包括有理数域Q。证明设K为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0aKa，且。于是KaaKaa10，。进而Z,m0Km111。最后，Z，nm,0Knm，Knmnm0。这就证明了QK。证毕。1.1.3集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差)设是集合，与SAB的公共元素所组成的集合成为与AB的交集，记作BA；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与AAB的并集，记做BA；从集合中去掉属于AB的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。ABA\定义（集合的映射）设、AB为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应fAafB中唯一确定的元素（记做），则称是到)(affAB的一个映射，记为).(,:afaBAf如果Bbaf)(，则称为在下的像，a称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的bafbfAfB的子集称为A在下的像，记做，即f)A(fAafAfa|)()(。若都有则称为单射。若,'Aaa),'()(afaff,Bb都存在，使得，则称为满射。如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。Aabfaf)(ff1.1.4求和号与求积号1．求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域K上n个数，我们使用如下记号：naaa,,,21niinaaaa121,niinaaaa121.当然也可以写成niinaaaa121......,niinaaaa121.......2.求和号的性质.容易证明，niniiiaa11nininiiiiibaba11)(11nimjniijmjijaa111事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：nmnnmmaaaaaaaaa....................................212222111211分别先按行和列求和，再求总和即可。第一学期第二次课§2一元高次代数方程的基础知识1.2.1高等代数基本定理及其等价命题1.高等代数基本定理设K为数域。以表示系数在][xKK上的以x为变元的一元多项式的全体。如果，则称为的次数，记为。)0[)(01aKaxaxxfnnndegf(],x......10a)(xn)(xf定理（高等代数基本定理）C的任一元素在C中必有零点。][x命题设是C上一个次多项式，a是一个复数。则存在C上首项系数为的)10(,......)(0110naaxaxaxfnnn，0a1nn)(xq次多项式，使得)())(()(afaxxqxf证明对n作数学归纳法。推论为的零点，当且仅当0x)(xf)(0xx为的因式（其中）。)(xf1)(degxf命题（高等代数基本定理的等价命题）设为C上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使nnnaxaxaxf......)(110n)10(0na，naaa,......,,21n))......()(()(210nxxxaxf证明利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。n2．高等代数基本定理的另一种表述方式定义设K是一个数域，x是一个未知量，则等式（1）0......1110nnnnaxaxaxa（其中）称为数域0,,......,,010aKaaanK上的一个次代数方程；如果以nKx带入（1）式后使它变成等式，则称为方程（1）在K中的一个根。定理（高等代数基本定理的另一种表述形式）数域K上的次代数方程在复数域C内必有一个根。)1(n命题次代数方程在复数域C内有且恰有n根（可以重复）。n个命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式)0(......)(10nnnaxaxaaxf，)0(......)(10mmmbxbxbbxg，如果存在整整数l,,及nlml,1l个不同的复数121,,......,,ll，使得)1,......,2,1()()(ligfii，则。)()(xgxf1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性设101()nnnfxaxaxa，其中0,iaKa0。设的复根为()0fx12,,,n（可能有重复），则1210112121()()()()()()nininnnnfxxxxxaxx.所以)()1(21101naa；niiiiaa21210202)1(；.)1(210nnnaa我们记1),,,(210n；nn21211),,,(；niiiiiinrrr2121021),,,(；nnn2121),,,(（12,,,n称为12,,,n的初等对称多项式）。于是有定理2.5(韦达定理)设101()nnnfxaxaxan，其中。设的复根为0,iaKa0()0fx12,,,。则),,,()1(211101naa；),,,()1(212202naa；).,,,()1(210nnnnaa命题给定R上n方程次，0......1110nnnnaxaxaxa00a，如果bai是方程的一个根，则共轭复数bai也是方程的根。证明由已知，1011......0nnnnaaaa.两边取复共轭，又由于naaa,......,,10R，所以1011......0nnnnaaaa.推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。证明因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一根为实数。第一学期第三次课§3线性方程组1.3.1数域K上的线性方程组的初等变换举例说明解线性方程组的Gauss消元法。定义（线性方程组的初等变换）数域K上的线性方程组的如下三种变换（1）互换两个方程的位置；（2）把某一个方程两边同乘数域K内一个非零元素c；（3）把某一个方程加上另一个方程的倍，这里kKk的每一种都称为线性方程组的初等变换。容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解证明设线性方程组为11112211121222221122,,.......nnnnmmmnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbn（*）经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）的解也是（*）的解即可。设是（*）的解，即（*）中用nnkxkxkx,......,,2211),......2,1(nikxii代入后成为等式。对其进行初等变换，可以得到nnkxkxkx,......,,2211代入（**）后也成为等式，即nknxkxkx,......,,2211是（**）的解。反之，（**）的解也是（*）的解。证毕。1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换定义（数域K上的矩阵）给定数域K中的个元素j（mniami,,1，）。把它们按一定次序排成一个行列的长方形表格nj,,1mn111212122212.....................................nnmmmnaaaaaaAaaa称为数域K上的一个行列矩阵，简称为mnnm矩阵。定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵）线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到内作为最后一列，得到的矩阵AmA)1(n11121121222212.....................................nnmmmnnaaabaaabAaaab称为方程组的增广矩阵。定义(矩阵的初等变换)对数域K上的矩阵的行（列）所作的如下变换（1）互换两行（列）的位置；（2）把某一行（列）乘以K内一个非零常数c；（3）把某一行（列）加上另一行（列）的k倍，这里Kk称为矩阵的行（列）初等变换。定义（齐次线性方程组）数域K上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次线性方程组。这类方程组的一般形式是1111221121222211220,0,......0.nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；证明对变元个数作归纳。说明线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上，在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果所给的是数域K上的线性方程组，那么做初等变换后仍为K上的线性方程组，所求出的解也都是数域K中的元素。因此，对K上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域K中进行。第一学期第四次课第二章向量空间与矩阵第一节m维向量空间2.1.1向量和m维向量空间的定义及性质定义（向量）设K是一个数域。K中个数所组成的一个元有序数组称为一个m维向量；mmaaa,......,,21mmaaa...21（miKi,......,2,1,）称为一个m维列向量；而)',......,','('21maaa称为一个m维行向量。我们用mK记集合},......,2,1,|)',......,','{(21miKaaaaim。定义（mK中的加法和数量乘法）在mK中定义加法如下：两个向量相加即相同位置处的数相加，即mmmmbabababbbaaa.........22112121.在mK定义数量乘法为用K中的数去乘向量的各个位置，即对于某个Kk，mmkakakaaaak......2121定义（维向量空间）集合mmK和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域K上的m维向量空间。命题（向量空间的性质）向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质（其中K表示数域，,,表示mK中的向量）：（1）加法结合律：)()(；（2）加法结合律：（3）向量（0,0,……,0）（记为0）具有性质：对于任意，有00；（4）),,,(21maaa，令),,,(21maaa，称其为的负向量，它满足0)()(；（5）对于数1，有1（6）对K内任意数k,l，有)()(lkkl；（7）对K内任意数k,l，有lklk