直接积分法(课堂PPT)

1第5章直接积分法最重要的分析方法（时程分析）浙江大学谢旭25.1概述•数值积分法是根据已知的位移、速度、加速度和荷载条件，计算下一时刻振动响应的方法。it1ittuOuiui+13显式积分、隐式积分•显式积分是在第i步计算中状态ti满足运动方程式的计算方法。•用显式积分法计算结构响应时，为了提高计算精度，时间间隔Δt必须十分小，否则，随着计算步数的增加，误差不断积累、出现发散的现象。•隐式积分是满足ti+Δt时刻运动方程式的计算方法。这种算法由于函数f包含未知的结构响应，因此，需要通过反复迭代的方法计算ti+Δt时刻的响应，它是一个非线性计算的过程。iiiiutftuu,Δ14常用的隐式积分法•隐式积分归结为求解非线性方程组。但是从计算效率考虑，在结构动力响应分析中一般对它的计算过程加以修正提高计算收敛性和效率，各种改进算法中Newmarkβ法和Wilsonθ法是结构振动响应分析中最常用的两种方法。55.2Newmarkβ法•Newmarkβ法是一种加速度法，它是根据时间增量内假定的加速度变化规律计算结构动力响应的方法。由于时间增量内加速度变化规律的假定形式是任意的，因此Newmarkβ法有多种形式的计算公式。为了方便理解起见，以下通过几种特殊情况的加速度算法来介绍Newmarkβ法。61.线性加速度法假定时刻ti到ti+1(=ti+Δt)之间加速度线性变化对上式积分得到速度和位移响应：7•在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程：•代入方程，得到ti+1时刻的加速度：•进一步计算ti+1时刻的速度、位移。8•Newmarkβ法有很多的表示形式，也可以表示成直接计算位移的形式。与直接计算加速度响应的计算方法相比，直接计算位移响应的计算方法更加常用。关于直接计算位移的方法后面再介绍。92.平均加速度法假定加速度在ti-ti+1区间内为平均值：速度、位移为：10•在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程：•得到ti+1时刻的加速度为：•进一步计算ti+1时刻的速度、位移。113.Newmarkβ法统一的表达式线性加速度结果iittt1Δ12平均加速度结果统一表达式β=1/6为线性加速度β=1/4为平均加速度13用增量形式表示振动方程位移、速度和加速度增量这里14•根据上式，得到速度和加速度的增量•代入运动方程15Newmarkβ法的收敛性•可以证明，Newmarkβ法当β≥1/4时，计算是无条件收敛的。•Newmarkβ法是工程计算中最常用的方法，16Newmarkβ法计算过程175.3wilsonθ法•同Newmarkβ法一样，wilsonθ法也是结构振动分析的常用计算方法之一。•wilsonθ法的基本假定是在时间间隔θΔt（θ≧1.0）内加速度响应线形变化。18•因此，在间隔内任意时刻τ的加速度根据线性内插可以表示为：对上式积分，得到速度和位移的计算式tθτΔ19•代入结构运力方程式得到计算τt时刻位移的方程组20•得到位移后进一步得到t+τ加速度，然后内插得到t+Δt加速度，进一步计算位移和速度。当θ≧1.37时Wilsonθ法为无条件稳定的计算方法21wilsonθ法的计算过程1.计算常数τa31206τaτa31122aa23τaθaa04θaa25θa3162Δ7ta6Δ28ta222.等效刚度计算MCKK01aaMCKK263ττ233.对每一时间步计算等效荷载增量4.解方程计算位移τtτtFKu-1245.计算时刻t+Δt的响应25用增量形式表示的Wilsonθ法（推导省略）•计算公式τtτtFuKΔΔ增量方程26•得到时刻的响应，•再转变成t+Δt的响应：τt27Wilsonθ法计算框图•与Newmarkβ法相似，不再重复。28直接积分法的补充说明•一种算法很难同时兼顾稳定性和精度，稳定与精度往往具有相反的倾向，稳定性好的计算方法精度相对比较差一些。一般而言，显式积分的稳定性差一些，而且时间间隔的取值对计算稳定性的影响很大。•稳定性好的计算方法并不意味可以用任意大的时间步长进行积分计算，无条件稳定的计算方法（比如Wilsonθ法）虽然不会发生数学上的发散现象，但是容易出现早期结果偏大、后期出现异常振动的计算结果，而且也有可能导致高频振动的计算结果失真的现象，因此，这种算法一般不太合适于带有冲击响应的结构计算。对于高次振动成分比较重要的计算，用非常小的时间步长按显式积分较多。