四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为cba,,，则体对角线长为222cbal，几何体的外接球直径R2为体对角线长l即2222cbaR【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE的长即：22224ADACABR1663142222R所以2R球的表面积为1642RS二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，BCAB且7PA，5PB，51PC，10AC,求球O的体积。解：BCAB且7PA，5PB，51PC，10AC,因为22210517所以知222PCPAAC所以PCPA所以可得图形为：在ABCRt中斜边为AC在PACRt中斜边为AC，取斜边的中点O，则OCOBOA，OCOBOP所以OAOCOBOP，即O为该四面体的外接球的球心521ACR所以该外接球的体积为3500343RV【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、四面体是正四面体ACDBEOABCP处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．正四面体的表面积223434aaS表．正四面体的体积22221234331BEABaAEaVBCDA322212233123aaaaBCDAVrS表31，aaaSVrBCDA12631223323表在BEORt中，222EOBEBO，即22233raR，得aR46，得rR3【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h(h为正四面体的高)，且外接球的半径43h，从而可以通过截面图中OBERt建立棱长与半径之间的关系。例2．设棱锥ABCDM的底面是正方形，且MDMA，ABMA，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解：ABMAABADAB,,平面MAD，由此，面MAD面AC.记E是AD的中点，从而ADME.ME平面AC，EFME设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图2，得截面图MEF及内切圆O不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.图2图1设球O的半径为r，则MFEMEFSrMEF2，设aEFAD,1AMDS.222,2aaMFaEM,12222222222aaaar当且仅当aa2，即2a时，等号成立.∴当2MEAD时，满足条件的球最大半径为12.【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。二、球与棱柱的组合体问题1．正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。如图3，截面图为正方形EFGH的内切圆，得2aR；2．与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得aR22。3．正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA作截面图得，圆O为矩形CCAA11的外接圆，易得aOAR231。例3.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA,那么这个球的表面积是______.解：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线aCD3223234aaS球表面积图3图4图5