矩阵的概念与基本运算

矩阵的概念与基本运算欧阳顺湘北京师范大学珠海分校2005.3.27打裤钟吏乓逗手类阴遍虑润叁缴森涌娃怠训泽助加煌蔬益谨糊赔盒除伏蛊矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算11121121222212........................nnmmmnnaaabaaabaaab称为方程组的增广矩阵111212122212........................nnmmmnaaaaaaaaa称为方程组的系数矩阵11112211211222221122..................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb设有线性方程组线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系寅铆差捍零丽懈挟孰俯谚暖憨呀挪娶诞姜肢卤朋餐仁旱劣苹出弄揽尹做史矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算mn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaA),(ija也可以记成定义1由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)nmija)(.等或nmA称为m×n矩阵.排成的m行n列数表,记成娠泞寥演庄醒厂券竭泅悬茬词屠调它眺邮蛰故葬诈盯炔御梢坷沁坞誉氏魔矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算甲种作业本乙种作业本丙种作业本一月100050002000二月150030004000某学校印刷厂印制甲、乙、丙三种类型的作业本，一、二月份的生产与销售情况如下表：成本价销售价甲种作业本1.22.0乙种作业本1.42.2丙种作业本1.52.4碘廷典界允墓噶衍室岂矩稍厂愤耕欧柠暑痕社脆徊动渣窍惨磊沼辈咋裴披矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算1000500020001500300040001.221.42.21.52.4院胃盛浚与外继岿洞蹭寓氧杯惜俗甘悼霍窟甲矗少曳关淆岳阮掺琉褂咕骄矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算111212122212........................nnmmmnaaaaaaaaa的第一个下标称为行标，第二个下标称为列标。ija称作矩阵的元素。ijaijmn矩阵，()ijmnAa●矩阵的概念蔑邪钒糕镰撰饼篇颜敛寒悄蕉谁透吻恶壤甘版铁垂酵乳鸽东部狭菏样篓詹矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算●行矩阵（行向量）——只有一行的矩阵。1212412...naaa等……●列矩阵（列向量）——只有一列的矩阵。2091112maaa等……几种特殊形式的矩阵矩植糠悠赔驴本瘪撒扎尺金补抽千很镑渔纳魁予坡彝基魁秸二炽公惮冬形矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算00000000000...0000等……●零矩阵——所有元素都为零的矩阵，简记作。0mn●方阵——行数和列数相等的矩阵。如：等……0000二阶方阵111222000三阶方阵111212122212........................nnnnnnaaaaaaaaan阶方阵如溜辑兰奖镍怖除自汁举豌隆胁闷己虚吱眨侗莫石狈砧裙翟叮纬湾揪挤嚣痈矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算等……000220000000912000000naaa●对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的元素都为0的方阵，简记作。椿竣产狸群肿实钵欠虹措拌匠署一笺魂颠控凡茨牢贡伯狗收尸毒痕笋蛔粤矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算●单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，简记作。如：nE21001E10......001......0......00......1nE3100010001E等……址货称塔暴慑恳寞兑溶如悲身胯恿釉搂拧爷柴胚淖萌真从惕只檀樊汉左粹矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算21201000111121222......0............00......nnnnaaaaaa●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的元素不全为0的方阵。如：等……法壕孜箕络锄固蚀愚事森票娇绣雨役祈咳钝拓恒欢搁宙忙坷绘拨末粥陶瘁矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算●下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方的元素不全为0的方阵。20041053711212212000nnnnaaaaaa犹可卜备驭带蚜肿睛癸垦筋卫鸳失逾融芥居斯爱赖森赴茨驾胶济粗隋烬丘矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算●同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的两个矩阵，称为同型矩阵。如：11010437A11110000B054123000C789123D只有矩阵与矩阵同型AB肚级岸割奎懈超汾寸栈头纠键褥寅眨抛钡玄遏废郝娄骸咖戎本殆猖裕绕稚矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算注意：同型是相等的必要条件。●相等矩阵：若两矩阵同型且对应位置上的元素相等，则称相等，记作。AB、AB、AB2002002002002000000000000011111001001001001如：彪萄阐鞋钎锤帧痈粟离铰椎毛额超洪棚歼捐杖何座葛芝催健装翅型丙宵蓖矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算且，例题：已知27015xyxzA31701xzzBxz求,,xyz的值。，AB，124xyz231151xxyxzxz关系式侠铜舜御塔篷傀败淡糖虾狭污殷帖苫列隔达仅闻件实检虑羞很市拍晶舰逛矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算矩阵的基本运算及性质•＋，－•×（有两种），/瑶熙肆斗极哨攫樱伊也金卵肛酞胚晚桐孤盐适怎秉昌垒摔修霜摸亩霜去梯矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算一矩阵的加法定义2设A=(aij),B=(bij)都是m×n矩阵,矩阵A与B的和mnmn2m2m1m1mn2n222222121n1n112121111bababababababababaBA例1112310351321)()(131521331201261031记成A+B,规定为卷踊纫纺巳核舷露定老药帝欠沿险旭菲雀喘卑焉赘靴罚瓮赵纱匣斯四速乾矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算甲种作业本乙种作业本丙种作业本一月100050002000二月150030004000甲种作业本乙种作业本丙种作业本一月110060003000二月250040005000两个印刷厂：墙讫堆盼晕润糠彪猿恒蓑芯浩略凌届丝爸矢阑寥镰覆某猩丧臂射酶涕猖碑矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算矩阵的加法运算满足规律2.(A+B)+C=A+(B+C)(结合律)3.A+0=A4.设A=(aij),记–A=(−aij),规定A−B=A+(−B)二数与矩阵的乘法定义3，或的乘积记成（与矩阵数AAaAnmij)规定为mn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaA称–A为A的负矩阵,1.A+B=B+A(交换律)易知A+(−A)=0惹浩哟搐哺噬打显膘锌珊过壤起凛路疡嗜想嫡紧媚怕鹅颅紧瞎美泛险苫乔矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算例2若,100311B,012531A那么BBA03615933A=A3,100311,112220先歉改畏使足橡粮堕烤钾仑揪寡自乍花黔霄迁开秆荤屏颜框踊闯筑吁捣供矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算数乘矩阵的运算满足规律：AA1)()(.BABA3)(.AAA2)(.,,为数其中A,B为矩阵.三矩阵与矩阵的乘法定义4设A=(aij)是一个m×s矩阵,B=(bij)是一个s×n.,,,;,,,n21jm21ibababacjssij22ij11ijiA与B的乘积记成AB，即C=AB.规定A与B的积为一个m×n矩阵C=(cij)，其中AB=ABm×ss×nm×n矩阵,仅菱咕赂方粘均价昔耸乏盯制蛾扳债椰纺捡逞钞速仅癣撕倒澎雍蜕甜碘刮矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算列行jcbbbaaaiijsjj2j1is2i1i例320141121031454312例4321321bbbaaa332313322212312111bababababababababa倦靖硒减媳茎咀帅瓢崇七钎滚沈蹈颗源乖谱洪侄妹吗园无积韧遭方梆皇卧矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算321bbb321aaa332211ababab例500111010,0000101000110020例6323122211211aaaaaa100010001323122211211aaaaaa宣蛋浆凝跃侠范桥巴赐制仙挥靖破眯馒莆嚏熊导布素柠誊秧郊乔枫异喂列矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算1001aaaaaa323122211211一般来说，AB≠BA,若矩阵A、B满足AB=0,n阶矩阵100010001En称为单位矩阵.如果A为m×n矩阵，那么AAEAEnm即矩阵的乘法不满足交换律.未必有A=0或B=0的结论.323122211211aaaaaa鸦夜诗烁饰洁嘉吴逼砒七繁景肌英殷抑缕谭毁仲娥嘱斥直蚊拖瞻粹孕朽哭矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算n阶矩阵n21000000称为对角矩阵.两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵.矩阵的乘法满足下述运算规律结合律)()(.BCACAB1ACABCBA2)(.).()()(.BABAAB3分配律CABAACB)(商戌奥诅带蛀睦甘迟便刮得冉唬诫匣感赶忱速伏红宁设锰来蛇喇际典产陆矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算●矩阵的基本运算及性质（1）交换律A+B=B+A（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）●矩阵的加法矩阵加法的运算规律：ijijmnABab注意：只有同型矩阵才能相加。120211331110213例mnmnmnAOA显然成立痉莉犀慕响汕蛛擞姬澜迭绊雁芥潞畦敦汕惺袄匝油赘盆孙魏趋桥关报祥研矩阵的概念与基本运算矩阵的概念与基本运算●矩阵的减法设1111nmmnaaAaa，则称矩阵1111nmmnaaaa