高等数学概念、定理、公式大全-瀚海网

瀚海网化繁为简考研精品邹群老师倾情奉献转载请不要清除作者及发布网站的信息，违者将侵犯作者著作权附录高等数学概念、定理、公式大全第一章函数与极限1.映射与函数1.1集合1.1.1集合的运算法则设A、B、C为任意三个集合，则有(1)交换律AÈB=BÈA，AÇB=BÇA；(2)结合律(AÈB)ÈC=AÈ(BÈC)，(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC)；(3)分配律(AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC)，(AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC)；(4)对偶律(AÈB)C=ACÇBC，(AÇB)C=ACÈBC.1.2映射1.2.1映射设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：X®Y，其中y称为元素x(在映射f下)的像，并记作f(x)，即y=f(x)，而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作Df，即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记为Rf，或f(X)，即Rf=f(X)={f(x)|xÎX}.1.2.2满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射，若Rf=Y，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射；若对X中任意两个不同元素x1¹x2，它们的像f(x1)¹f(x2)，则称f为X到Y的单射；若映射f既是单射，又是满射，则称f为一一映射(或双射).1.2.3逆映射与复合映射设f是从集合X到集合Y的单射，则由定义，对每一个fyRÎ，有唯一的xXÎ，适合()fxy=.于是我们可以定义一个从fR到X的新映射g，即:fgRX®，对每一个fyRÎ，规定()gyx=，这x满足()fxy=。这个映射g称为f的逆映射，记作1f-，其定义域1,ffDR-=值域1.fRX-=设有两个映射12:,,gXYYZ®®其中12YYÌ，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xXÎ映成[()].fgxZÎ这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射.1.3函数1.3.1函数设数集DÌ¡，则称映射f：D®¡为定义在D上的函数，记为y=f(x)，xÎD，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D.1.3.2函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f（x）的定义域为D，数集.XDÌ如果存在正数M，使对任一xÎX，有|f(x)|£M，则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上无界.即对任何M，总存在x1ÎX，使|f(x)|M.(2)函数的单调性设函数y=f(x)的定义域为D，区间IÌD.如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称.如果对于任一xÎD，有f(-x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数；如果对于任一xÎD，有f(-x)=-f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称.(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l，使得对于任一xÎD有(x±l)ÎD，且f(x+l)=f(x)，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期.1.3.3反函数与复合函数瀚海网化繁为简考研精品邹群老师倾情奉献转载请不要清除作者及发布网站的信息，违者将侵犯作者著作权(1)反函数设函数f：D®f(D)是单射，则它存在逆映射f-1：f(D)®D，称此映射f-1为函数f的反函数.按此定义，对每个yÎf(D)，有唯一的xÎD，使得f(x)=y，于是有f-1(y)=x.(2)复合函数设函数y=f(u)的定义域为Df，函数u=g(x)的定义域为Dg，且其值域gRfDÌ，则由下式确定的函数y=f[g(x)]，xÎDg称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数，它的定义域为Dg，变量u称为中间变量.函数g与函数f构成的复合函数记为ofg，(ofg)=f[g(x)].1.3.4函数的运算设函数f(x)，g(x)的定义域依次为D1，D2，D=D1ÇD2¹Æ，则我们可以定义这两个函数的下列运算：(1)和(差)f±g：(f±g)(x)=f(x)±g(x)，xÎD；(2)积f×g：(f×g)(x)=f(x)×g(x)，xÎD；(3)商fg：()()()()=ffxxggx，xÎD\{x|g(x)=0，xÎD}.1.3.5初等函数(1)基本初等函数1)幂函数y=xm(mΡ是常数)；2)指数函数y=ax(a0且a¹1)；3)对数函数y=logax(a0且a¹1，特别当a=e时，记为y=lnx)；4)三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx；5)反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx.(2)双曲函数1)双曲正弦-sh;2xxeex-=2)反双曲正弦2arshln1xxx=+(+);3)双曲余弦-ch;2xxeex+=4)反双曲余弦2archln(1);xxx=+-5)双曲正切--shth;chxxxxxeexxee-==+6)反双曲正切11arthln.21+=-xxx(3)初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.1.4三角函数公式1.4.1诱导公式函数角sincostancot-α-sinαcosα-tanα-cotα90°-αcosαsinαcotαtanα90°+αcosα-sinα-cotα-tanα180°-αsinα-cosα-tanα-cotα180°+α-sinα-cosαtanαcotα270°-α-cosα-sinαcotαtanα270°+α-cosαsinα-cotα-tanα360°-α-sinαcosα-tanα-cotα360°+αsinαcosαtanαcotα1.4.2和差角公式瀚海网化繁为简考研精品邹群老师倾情奉献转载请不要清除作者及发布网站的信息，违者将侵犯作者著作权(1)sin()sincoscossinababab+=+(2)sin()sincoscossinababab-=-(3)cos()coscossinsinababab+=-(4)cos()coscossinsinababab-=+(5)tantantan()1tantanababab++=-(6)tantantan()1tantanababab--=+1.4.3和差化积公式(1)sinsin2sincos22ababab+-+=×(2)sinsin2cossin22ababab+--=×(3)coscos2coscos22ababab+-+=×(4)coscos2sinsin22ababab+--=-×(5)()sintantancoscosababab++=×1.4.4积化和差公式()()1(1)sinsincoscos2ababab=-+--éùëû()()1(2)coscoscoscos2ababab=++-éùëû()()1(3)sincossinsin2ababab=++-éùëû()()1(4)cossinsinsin2ababab=+--éùëû1.4.5倍角公式222232332(1)sin22sincos(2)cos22cos112sincossin2tan(3)sin33sin4sin(4)tan21tan3tantan(5)cos34cos3cos(6)tan313tanaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa==-=-=-=-=--=-=-1.4.6半角公式1cos1cos(1)sin(2)cos22221cos1cossin1cos1cossin(3)tan(4)cot21cossin1cos21cossin1cosaaaaaaaaaaaaaaaaaa-+=±=±--++=±===±==++--1.4.7正弦定理与余弦定理(1)正弦定理2sinsinsin===abcRABC(2)余弦定理2222cos=+-cababC2.数列的极限2.1概念(1)数列极限如果数列{xn}与常数a有下列关系：对于任意给定的正数e.不论它多么小，总存在正整数N，使得对于nN时的一切xn，不等式|xn-a|e都成立，则称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为lim®¥=nnxa或xn®a(n®¥).如果数列没有极限，就说数列是发散的.e—N语言表述：lim®¥=nnxaÛe0，$NÎ¥+，当nN时，有|xn-a|e.(2)数列的有界性对于数列{xn}，如果存在正数M，使得对一切xn都满足不等式|xn|£M，则称数列{xn}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{xn}是无界的.(3)子数列在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列.2.2收敛数列的性质(1)定理(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一.瀚海网化繁为简考研精品邹群老师倾情奉献转载请不要清除作者及发布网站的信息，违者将侵犯作者著作权(2)定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界.(3)定理(收敛数列的保号性)如果数列{xn}收敛于a，且a0(或a0)，那么存在正整数N，当nN时，有xn0(或xn0).推论如果数列{xn}从某项起有xn³0(或xn£0)，且数列{xn}收敛于a，那么a³0(或a£0).*(4)定理(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.3.函数的极限3.1函数极限的概念3.1.1自变量趋于有限值时函数的极限(1)自变量趋于有限值时函数的极限设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数e(不论它多么小)，总存在正数d，使得当x满足不等式0|x-x0|d时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|e，那么常数A就叫做函数f(x)当x®x0时的极限，记为0lim()®=xxfxA或f(x)®A(当x®x0).e--d语言表述：0lim()®=xxfxAÛe0，$d0，当0|x-x0|d时，|f(x)-A|e..(2)单侧极限1)左极限若当x从0x的左侧趋于0x时，f(x)无限接近于某常数A，则常数A叫做函数f(x)当x®x0时的左极限，记为0lim()-®=xxfxA或f(0x-)=A；e--d语言表述：0lim()-®=xxfxAÛe0，$d0，当x0-dxx0时，有|f(x)-A|e.2)右极限若当x从0x的右侧趋于0x时，f(x)无限接近于某常数A，则常数A叫做函数f(x)当x®x0时的右极限，记为0lim()®+=xxfxA或f(0x+)=A.e--d语言表述：Ûe0，$d0，当x0xx0+d时，有|f(x)-A|e.3)结论0lim()®=xxfxAÛ0lim()-®=xxfxA且0lim()®+=xxfxA.3.1.2自变量趋于无穷大时函数的极限(1)自变量趋于无穷大时函数的极限设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数e，总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|X时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|e，则常数A叫做函数f(x)当x®¥时的极限，记为lim()®¥=xfxA或f(x)®A(x®¥).e--X语言表述：lim()®¥=xfxAÛe0，$X0，当|x|X时，有|f(x)-A|e.类似地可定义lim()®-¥=xfxA和lim()®+¥=xfxA.(