九年级数学：-证明圆的切线的两种类型习题

第1页共5页小专题证明圆的切线的两种类型类型1已知直线与圆的交点【例1】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切.【方法总结】直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等.变式练习1(湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB垂直平分OC.(1)求BC的长；(2)求证：PB是⊙O的切线.变式练习2(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.变式练习3(临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.(1)证明：DE为⊙O的切线；(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.类型2未知直线与圆的交点【例2】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.第2页共5页【方法总结】直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.变式练习4如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.求证：CD与⊙O相切.变式练习5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3.（1）求证：AC是⊙D的切线;（2）求线段AC的长.参考答案类型1已知直线与圆的交点【例1】法一：连接OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠BDO=∠B.∴∠BDO=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切.法二：连接OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴∠BAD=∠CAD.∵DM⊥AC，∴∠CAD+∠ADM=90°.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA.∴∠ODA+∠ADM=90°.即OD⊥DM，∴DM是⊙O的切线.变式练习1(1)第3页共5页连接OB.∵弦AB垂直平分OC，∴OB=BC.又∵OB=OC，∴△OBC是正三角形.∴BC=OC=2.(2)∵BC=CP，∴∠CBP=∠CPB.∵△OBC是正三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°.∴∠CBP=30°，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，即OB⊥BP.∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线.变式练习2(1)连接BD，则∠DBE=90°.∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1.在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1.∴AD=2.(2)连接OB，由(1)得BC∥OD，且BC=OD.∴四边形BCDO是平行四边形.又∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AD.∴四边形BCDO是矩形.∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线.变式练习3(1)证明：DE为⊙O的切线；证明：连接OD.21第4页共5页∵等腰△ABC的底角为30°，∴∠A=∠B=30°.∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=30°.∴∠ODB=∠A.∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.∴DE为⊙O的切线；(2)连接DC，∵∠B=∠BDO=30°，∴∠DOC=60°.又∵OD=OC，∴OD=OC=DC=12BC=2.∵∠ODE=90°，∴∠EDC=30°,∴在Rt△DEC中，EC=DC=1,DE=2×=∵∠ODE=∠DEA=90°，∴OD∥AC,∴S△OCE=S△DEC=×CE×DE=×1×=.类型2未知直线与圆的交点【例2】法一：连接DE，作DF⊥AC，垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线.法二：连接DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠DAB=∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上，∴AC与⊙D相切.【方法总结】直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.变式练习421321321213321第5页共5页连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC.∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵ON⊥CD，OM⊥BC,∴OM=ON.∴N在⊙O上.∴CD与⊙O相切.变式练习5（1）AC是⊙D的切线;证明：过点D作DF⊥AC于F.∵∠ABC=90°∴AB⊥BC.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC,∴BD=DF.∴点F在⊙D上∴AC与⊙D相切；（2）在Rt△BDE和Rt△FDC中,∵BD=DF，DE=DC，∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴EB=FC.∵AB=AF，∴AB+EB=AF+FC，即AB+EB=AC，∴AC=5+3=8.