等比数列的前n项和习题(含答案)

[A基础达标]1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为()A．1＋a（1－an－1）1－11aB．1－an1－aC.an＋1－1a－1D．以上皆错解析：选D.当a＝1时，Sn＝n，故选D.2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于()A．7B．8C．15D．16解析：选C.设{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，所以q＝2，又a1＝1，所以S4＝1－241－2＝15，故选C.3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝()A．－2B．2C．3D．－3解析：选A.因为S3＋3S2＝0，所以a1（1－q3）1－q＋3a1（1－q2）1－q＝0，即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0.解得q＝－2或q＝1(舍去)．4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝()A.18B．－18C.578D．558解析：选A.法一：由等比数列前n项和的性质知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，又a7＋a8＋a9＝S9－S6，则S3，S6－S3，a7＋a8＋a9成等比数列，从而a7＋a8＋a9＝（S6－S3）2S3＝18.故选A.法二：因为S6＝S3＋S3q3，所以q3＝S6－S3S3＝－18，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝S3q6＝8×－182＝18.故选A.5．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于()A．90B．70C．40D．30解析：选C.因为S30≠3S10，所以q≠1.由S30＝13S10，S10＋S30＝140得S10＝10，S30＝130，所以a1（1－q10）1－q＝10，a1（1－q30）1－q＝130，所以q20＋q10－12＝0.所以q10＝3，所以S20＝a1（1－q20）1－q＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.6．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．解析：因为在等比数列{an}中，前3项之和等于21，所以a1（1－43）1－4＝21，所以a1＝1.所以an＝4n－1.答案：4n－17．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1.所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n－n＝2（1－2n）1－2－n＝2n＋1－n－2.答案：2n＋1－n－28．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝________．解析：设数列{an}的公比为q，则由已知，得q3＝－2.又a1＋a2＋a3＝a11－q(1－q3)＝1，所以a11－q＝13，所以S15＝a11－q(1－q15)＝a11－q[1－(q3)5]＝13×[1－(－2)5]＝11.答案：119．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解：(1)设{an}的公比为q.由题设可得a1（1＋q）＝2，a1（1＋q＋q2）＝－6.解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝a1（1－qn）1－q＝－23＋(－1)n2n＋13.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－43＋(－1)n·2n＋3－2n＋23＝2[－23＋(－1)n2n＋13]＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．10．数列{an}是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{bn}的前三项分别是a1，a2，a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若b1＋b2＋…＋bk＝85，求正整数k的值．解：(1)设数列{an}的公差为d，因为a1，a2，a6成等比数列，所以a22＝a1·a6，所以(1＋d)2＝1×(1＋5d)，所以d2＝3d，因为d≠0，所以d＝3，所以an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.(2)数列{bn}的首项为1，公比为q＝a2a1＝4，故b1＋b2＋…＋bk＝1－4k1－4＝4k－13.令4k－13＝85，即4k＝256，解得k＝4.故正整数k的值为4.[B能力提升]11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项解析：选B.设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4.所以两式相乘，得a61q3(n－1)＝8，即a21qn－1＝2，又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以an1·qn（n－1）2＝64，即(a21qn－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.12．已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和S奇为8514，所有偶数项之和S偶为17012，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为________．解析：设公比为q，由S偶S奇＝q＝2，S奇＝a1[1－（q2）5]1－q2＝8514，得a1＝14，q＝2.所以S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2·1－q121－q3＝585.答案：58513．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c0)为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2＋a4＋…＋a2n.解：由条件知S1＝a1＝1.(1)①当c＝1时，an＝1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2⇒an＝1，n＝1，0，n≥2.②当c≠1时，an＝1，n＝1，（c－1）cn－2，n≥2.(2)①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0；②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，所以a2＋a4＋…＋a2n＝（c－1）（1－c2n）1－c2＝c2n－11＋c.14．(选做题)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．解：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×34n－6；因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝130－10n，n≤6，70×34n－6，n≥7.(2)证明：设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×1－34n－6＝780－210×34n－6，An＝780－210×34n－6n，因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又A8＝780－210×（34）8－68＝82476480，A9＝780－210×（34）9－69＝76799680，所以须在第9年初对M更新．