数学建模《降落伞的选购问题》

降落伞的选购模型摘要本模型研究的是降落伞的选购方案问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少。为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力和重力的作用。通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k的值。我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s，所以当速度为20m/s时，伞的承载量最大。建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s，高度500m,伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径），分别计算出每种伞的最大承载量。最后运用LINGO软件进行线性规划求解得：x1=0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0.即购买半径为3m的降落伞6个时总费用最少为4932元。关键字：线性规划、空气阻力系数、拟合一、问题的重述为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长L,共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用C1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C3为200元。表1r（m）22.533.54费用（元）651703506601000降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度，见表2。表2时刻t（s）036912151821242730高度h（m）500470425372317264215160108551试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。二、模型的假设1、假设空投物资的瞬时伞已打开。2、空投物资的总数2000kg可以任意分割。3、空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关。4、降落伞和绳的质量可以忽略不计。5、假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用。三、符号说明1、m降落伞的负载重量2、g重力加速度3、a降落伞的加速度4、k空气的阻力系数5、S降落伞的伞面面积6、v降落伞的速度7、H降落伞的位移8、h降落伞离地高度9、x1,x2,x3,x4,x5分别为每种伞的个数四、问题的分析由题意可知每个伞的价格由三部分组成：三面费用C1、绳索费用C2、固定费用C3。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用C2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即rL2；固定费用为定值200。因为题中已给出每种伞面的半径，所以每种伞的价格为定值。要想确定选购方案，即共需半径（在题中给出的半径中选择）为多大的伞的数量，在满足空投物资要求的条件下使总费用最少。因此，我们需要确定每种伞的最大承载量。然后进行线性规划，确定总费用和每种伞的个数。要确定最大载重量，我们需对降落伞进行受力分析（如图二）。降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数、运动速度、伞的受力面积有关。运动速度和受力面积是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数。图一图二对图二的分析可知降落伞的运动状态是做加速度趋近于0的加速运动。因此，我们可以建立一个位移与时间的函数关系式，在根据题中所给的数据拟合出阻力系数k的值。然后再建立一个速度与时间的函数关系式，两个关系式联立求解出最大载重量（其中高度和速度由题目已经给出）。最后用LINGO软件进行线性规划算出问题要的结果。五、建模与求解（1）首先确定阻力系数K为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体如图二。由假设5可知物体A只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气阻力与降落速度v和伞的受力面积S的乘积成正比。则物体A在竖直方向上受到的合外力为：kSvmgF合由运动学方程：maF合得mkSvmgmFa合由物体位移H和时间的二次微分等于加速度建立方程得:mkSvmgtdHd22用MATLAB解微分方程得：(程序见附录【1】)222222)(SkgmkSmgteSkgmtHtmkS则222222500)(SkgmkSmgteSkgmthtmkS题目已经给t-h数据为：时刻t（s）036912151821242730高度h（m）500470425372317264215160108551对给定的数据以)(th为拟合函数进行拟合，r=3m,m=300kg,g=9.8,22rS,得出k=2.9377。（程序见附录【2】）（2）求解最大承载量用速度对时间的微分等于加速度，且v0=0建立方程组得：mkSvmgdtdv00v用MATLAB解得(程序见附录【3】)kSgmekSgmtvmkSt)(由前面的)(tH和)(tv函数建立方程组得：hHrSskgmeskgmksmgttHeksmgksmgtvmkstmkst5002)()(2222222k=2.9458,g=9.8,r=[22.533.54]因为降落伞在下落过程中其质量是不变的，所以我们把)(tv关系式中t看做一个定值，则关于m的方程为kSgmekSgmmvmkSt)(从上式我们可以知道)(mv是关于m的单调递增函数（证明见附件【7】），并且如果存在平衡状态则必须满足kvsmg，那么ksmgv而又通过对mksteksmgksmgtv)(分析，只有在ksmgtvt)(时，才有，这与实际矛盾，故降落伞是一直做加速度减小的加速运动，不存在平衡状态。因此，求最大载重量取伞在下降到地面的瞬间达到最大速度smtv/20)(,此时500)(tH，由方程组调用MATLAB分别解得半径为r的降落伞在满足空投条件下的最大载重量)(rM如下表：（程序见附录【5】）r（m）22.533.54最大承载（kg）150.6787235.4355339.0272461.4536602.7150取整(kg)150235339461602（3）线性规划求解数量和费用由分析可知每种伞的单价：321CCCC由题可知1C为:r（m）22.533.54费用（元）6517035066010002C为：42162rC3C为固定值即：2003C由以上数据求得每种伞的单价见下表：r（m）22.533.54单价C446596.3821.51176.81562取整44659682211771562我们设每种伞分别取x1,x2,x3,x4,x5个,则其目标函数为：z=446x1+596x2+822x3+1177x4+1562x5对其进行优化求解z的最小值，就是所需的最小费用。由分析可知其限制条件如下：s.t.150x1+235x2+339x3+461x4+602x5=2000;(x1，x2，x3，x4，x5)N;用LINGO求解得（程序见附件【6】）x1=0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0。最少总费用为4932元。六、模型的评价与改进优点：1、本模型的求解过程大量的运用了电脑软件，使得计算更加精确。缺点：1、本模型未考虑降落伞打开的时间，将其假设成在下降时伞就已经打开。2、由于在实际生活中降落伞还受到风向的影响，本模型假设的是理想的状态下（无风）改进：由于本模型假设的是在物资抛落的瞬时伞已打开，而在实际情况中物资抛落后应有一段自由落体运动。在模型的改进时应考虑到这一点，以便让模型更切合实际。七、参考文献1、《数学实验》萧树铁主编高等教育出版社199971附录【1】求解位移的程序H=dsolve('m*D2H+k*S*DH=m*g','H(0)=0,DH(0)=0','t')解得：g/k^2/S^2*m^2*exp(-k*S/m*t)+g/k/S*m*t-1/k^2/S^2*m^2*g附录【2】拟合k程序建立一个名为myfun的m文件functionF=myfun(x,xdata)s=2*pi*3^2;m=300;g=9.8;F=500-m^2*g/(x(1)^2*s^2)*exp(-x(1)*s*xdata/m)-m*g*xdata/(x(1)*s)+m^2*g/(x(1)^2*s^2);在matlabcommandwindow中输入下列命令：xdata=[036912151821242730];ydata=[500470425372317264215160108551];x0=[1];x=lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)附录【3】求解速度程序v=dsolve('m*Dv+k*S*v-m*g=0','v(0)=0','t')解得：tmkSekSgmkSgmtv)(附录【4】在v-t,m函数中对m求二阶导数symsmtgSkf=g*m/(k*S)-g*m/(k*S)*exp(-k*S*t/m);diff(f,’m’2)求得：-g/m^3*t^2*k*s*exp(-k*s/m*t)附录【5】求最大载重量在matlab中建立一个名为myfun的m文件，如下：functionF=myfun(x)r=2.5;g=9.8;k=2.9458;s=2*pi*r^2;F=[x(1)^2*g/(k^2*s^2)*exp(-k*s*x(2)/x(1))+x(1)*g*x(2)/(k*s)-x(1)^2*g/(k^2*s^2)-500;g*x(1)/(k*s)-g*x(1)/(k*s)*exp(-k*s*x(2)/x(1))-20];在matlab中commandwindow中输入以下命令：x0=[1;1];%初始点options=optimset('Display','iter');%显示输出信息x=fsolve(@myfun,x0,options)在m文件中更改r的值，然后在命令窗口重复输入以上命令就可分别求出不同半径的降落伞的最大载重量。分别求解可得最大载重量如下表：r（m）22.533.54m150.6787235.4355339.0272461.4536602.7150附录【6】优化求解min=446*x1+596*x2+822*x3+1177*x4+1562*x5;150*x1+235*x2+339*x3+461*x4+602*x5=2000;x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;x5=0;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);求解得：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:4932.000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:0VariableValueReducedCostX10.000000446.0000X20.000000596.0000X36.000000822.0000X40.0000001177.000X50.0000001562.000附件【7】证明速度)(mv与质量m成正比关系由高数定理可知：函数的一阶导数大于零，则原函数是单调递增的。一阶导数小于零，则原函数是单调递减的。kSgmekSgmmvmkSt)(对)(mv求一阶导数得：SkgmgtekSgemvmkStmkSt)`(由上式分析可知无法确定其是否大于零，在对其求二阶导数为：0)(32``mkStemkSgtmv则一阶导数为单调递减函数，当m趋近于无穷大时对一阶导数求极限可知0)(limkSgkSgSkgmgtekSgemkStmkStm由此可得：0)