断裂力学第四章

断裂力学第四章裂纹尖端的能量释放率§4.1概述应力判据应力强度因子判据局部参量K作为判据能量判据系统的总体能量变化作为判据以能量守恒与转化的观点分析裂纹扩展Griffith(1921)最先基于能量守恒原理研究脆性材料的断裂Griffith提出：如果裂纹扩展释放的能量，足以提供其扩展所需要的全部能量，则裂纹就将扩展§4.2能量释放率裂纹扩展需要消耗的能量表面能塑性变形能（塑性应变能）Up能量守恒：裂纹扩展的每一瞬间均满足能量平衡方程该过程不可逆dAd2dtddtdUdtdUdtdKdtdQdtdWpW—外力功Q—热流K—动能U—弹性应变能Up—塑性应变能—表面能§4.2能量释放率绝热条件下准静态加载W、U、Up均为外载与裂纹面积A的函数dtddtdUdtdUdtdKdtdQdtdWpdtdAdtdUdtdUdtdWp2dtdAdtdUdtdAAUdtdUdtdAAUdtdWdtdAAWpp22AUAUAWp§4.2能量释放率系统位能=U-W令G为弹性位能释放率或能量释放率Gc为临界能量释放率2AUAUAWp2AUApAUAWAG2AUGpc§4.2能量释放率能量释放率G与结构型式、外载荷等相关GI、GII、GIII表示I型、II型和III型裂纹的能量释放率量纲：力/长度（G又称裂纹扩展力）物理意义：结构断裂单位面积时总位能释放出来的能量临界能量释放率Gc对于脆性材料，Gc=2，为材料常数又称裂纹扩展阻力（R表示）物理意义：裂纹扩展单位面积时所需要消耗的能量AUAWAGI2IAUGpC§4.2能量释放率若板的厚度为B单边裂纹：dA=Bda对称中心裂纹：dA=2BdaaBAG1IaBAG21IaaaaBa)()(lim10aaaaBa)()(lim210能量释放率G的计算固定位移情况裂纹扩展A过程中，加载点位移保持不变弹性位能释放率等于应变能释放率裂纹扩展消耗了存储在弹性体内的弹性应变能§4.2能量释放率AUAGI0WAAAPPabcooabSU能量释放率G的计算固定载荷情况裂纹扩展A过程中，外载保持不变系统释放的能量等于应变能增加外载作功一半增加弹性体的弹性应变能，一半被形成新断裂面所消耗§4.2能量释放率PAUAGIPPPU2121)(21UPW2UAAAPPabcodeoadSU能量释放率G的计算任意边界情况裂纹扩展A过程中，边界载荷与位移均发生变化能量释放率仅与裂纹面积变化时系统的力学状态有关，与边界的加载条件无关§4.2能量释放率AUAUAGPIAAAPPabcodeoafSf时0AoafoadoabSSS§4.3G与K的关系裂纹闭合积分恒位移情况，能量释放率即应变能释放率产生断裂面积A应变能释放的能量，等于使A闭合时外力所作的功线弹性、准静态加载yxyovxyoaAvydSdvU02AyvdSU212§4.3G与K的关系裂纹闭合积分等厚度板：dS=BdayxyovxyoaAyvdSU212ayvdaBU0aaUaaUBGa)()(lim10IayavdaaG00I1lim§4.3G与K的关系裂纹闭合积分假设延长线扩展：=0，da=dxyxyovxyoaayavdaaG00I1limxKy2I)1(221)(IrKExv)1(2)(21IxaKEr)(平面应变§4.3G与K的关系裂纹闭合积分可得GI与KI关系II型III型EKG2IIyxyovxyoar平面应变平面应力12EEEEKG2IIII2IIIIII1KEG前提：假设裂纹沿延长线方向扩展§4.3G与K的关系裂纹闭合积分对于复合型裂纹yxyovxyoarEKEKKG2III2II2I)1(IIIIIIGGGG上式仅代表裂纹沿延长线方向扩展的能量释放率ayzxyyadawuvaG00)(1lim§4.3G与K的关系裂纹闭合积分含裂纹线弹性体能量释放率的一般公式Bueckner(1958)裂纹沿着不同方向扩展，其能量释放率不同AiiAdSuTAG211lim0§4.3G与K的关系例：无限长板条，高2h，无应力状态下，使上下边界产生位移v=v0，然后予以固定，设x方向位移不受约束，平面应变状态，求能量释放率和应力强度因子右侧远离裂纹尖端处应变能密度xyhh0v0vhAWU22212121yyyEW202)1(2hvEWhvEhWAUGA2020I12limhvEGEK02II1§4.4能量释放率的柔度表示Irwin&Kies(1952)裂纹体加载点位移与载荷成线性变化弹性边界外载P通过弹簧作用于裂纹体取整体（固定位移情况）)(212121TTPPPCP为裂纹体的柔度CaC柔度MC柔度PPTABMTCC22)(2121§4.4能量释放率的柔度表示Irwin&Kies(1952)裂纹扩展时，CM不变，T不变aC柔度MC柔度PPTABMTCC22)(2121TMTCCAG22I)(2121dAdCCACCGMT22I21§4.4能量释放率的柔度表示Irwin&Kies(1952)单边裂纹实验测定能量释放率的基础只依赖于裂纹扩展引起的裂纹体柔度变化能量释放率与加载条件无关aC柔度MC柔度PPTABdAdCPG2I21dadCPBG2I21§4.4能量释放率的柔度表示例：计算双悬臂梁试样的能量释放率和应力强度因子ahPPBBEhPaEIPav3338322BEhaPC33823222122BEhaPaCBPGBhPaK2/3I32注：仅是近似解，未考虑梁的剪切变形，且末端并非刚性固支§4.5能量法计算应力强度因子能量差率法含中心裂纹无限大板的裂纹表面位移服从椭圆分布规律无穷远处受均匀拉伸和裂纹表面受均匀压力两种情况，中心裂纹表面的位移都是椭圆分布xya2122202axvv)(20平面应力Eav0I2vaEK20I4vaEG§4.5能量法计算应力强度因子能量差率法对称情况状态1与2载荷共同作用下的应力强度因子21IIIKKKxya2状态111,vpxya2状态222,vp状态1：1IK1G1状态2：2IK2G2212121II2I2I2II2I2)(1KKEEKEKKKEEKG21II212KKEGGG§4.5能量法计算应力强度因子能量差率法对称情况状态1与2载荷共同作用下的总位能(固定载荷情况)aBdxvvpp02121))((214xya2状态111,vpxya2状态222,vp21II212KKEGGGaaaaBdxvpBdxvpBdxvpBdxvp012021022011222aBdxvp01221421II212KKEGGG§4.5能量法计算应力强度因子能量差率法对称情况状态1与2载荷共同作用下的能量释放率dadBG21xya2状态111,vpxya2状态222,vp21II212KKEGGGaBdxvpdadBdadBdadBG0122122121aBdxvp012214aBdxvpdadBGGG012212§4.5能量法计算应力强度因子能量差率法对称情况两式比较可得adxvpdadKEK012II12xya2状态111,vpxya2状态222,vp21II212KKEGGGaBdxvpdadBGGG012212)(22xpp),(11axvv),()(12012012aavapdxavpdxvpdadaa0),(1aavadxaaxvxpKEK012II),()(12§4.5能量法计算应力强度因子能量差率法对称情况对于同一结构，只要已知一种载荷状态下的应力强度因子与该状态下的裂纹表面位移，即可求得任意对称载荷状态下的应力强度因子例：计算裂纹表面受对称四个集中载荷P无限大板应力强度因子xya2状态111,vpxya2状态222,vpadxaaxvxpKEK012II),()(121IK),(1axv2IK)(2xpxya2PPPPb2),(1II12abvaPKEKbabababaaP§4.5能量法计算应力强度因子能量差率法非对称情况推导过程略例2la2状态111,vp1la2状态222,vp2l1l状态1：1IK1G1状态2：左2IK2右2IK1212),,()(21112IIlldxllxvlxpKEK右1212),,()(21122IIlldxllxvlxpKEK左§4.5能量法计算应力强度因子裂纹闭合积分AiiAdSuTAG211lim0IIGEK§4.5能量法计算应力强度因子应变能释放率结合有限元方法经有限元离散后，系统的应变能分别计算断裂面积为A和A+A时的应变能，能量释放率KUUTNee211AAUAAUG)()(§4.5能量法计算应力强度因子应变能释放率结合有限元方法若计算不同断裂面积A时的应变能U，作U-A曲线，曲线各点的斜率即为相应断裂面积的能量释放率应力强度因子采用有限元方法计算应变能增量时，误差可以抵消，因此不需要很精细的网格就能得到满意的结果IIGEK§4.5能量法计算应力强度因子柔度法计算不同断裂面积A时的柔度C，作C-A曲线，求出斜率dAdCPG2I21§4.5能量法计算应力强度因子刚度导数法有限元离散后，系统总位能代入节点平衡，假设裂纹扩展过程中外力保持不变PKTT21aBAG1PaPaKaKaBGTTTT21KaBGT21§4.5能量法计算应力强度因子刚度导数法围绕裂纹尖端取闭合折线0和1，裂纹尖端向右扩展a时，1上的节点不动，0上的节点与裂尖一起向右移动a，只有位于0与1之间的单元刚度矩阵发生变化KaBGT21NeeKaKa1§4.5能量法计算应力强度因子刚度导数法KaBGT21NeeKaKa1NeMfefeefdadxKxKa11第e个单元第f个节点的横坐标efxeK第e个单元的扩阶刚度矩阵