圆内接四边形的性质与判定

选修4-1第二讲（二）一知识回顾：1圆的定义：2圆周角定理：3圆心角定理：推论1：推论2：4点与圆的位置关系：第二节：圆内接四边形的性质与判定定理圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形叫圆内接多边形.这个圆称多边形的外接圆.二新知：思考:任意三角形都有外接圆.那么任意正方形有外接圆吗?为什么?任意矩形有外接圆吗?等腰梯形呢?一般地,任意四边形都有外接圆吗?ABCDOABCDADBCDABC如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征?探究：观察下图，这组图中的四边形都内接与圆。你能从中发现这些四边形的共同特征吗?DABC如图（1）连接OA,OC.则∠B=.∠D=212103600018036021DB0180:CA同理可得（1）分析：一般地，我们可以从四边形的边的关系角的关系等来考察这些图形的共同特征。下面我们考察四个角的关系。性质定理1圆内接多边形的对角互补将线段AB延长到点E,得到图（2）.1800EBCABC由于.1800DABC而.DEBC性质定理2圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。DABCE（2）性质定理1圆内接四边形的对角互补性质定理2圆内接边形的外角等于它的内角的对角。如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.性质定理的逆命题成立吗？假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.证明：(1)如果点D在⊙O外部。CABDEO（1）则∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180°得∠D=∠AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。ABCDEO（2）(2)如果点D在⊙O内部。∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。则∠B+∠E=180°圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.DABCE例1如图，圆o1与圆o2都经过A,B两点。经过点A的直线CD与圆o1交于点C,与圆o2交与点经过点B的直线EF与圆o1交于点E,与圆o2交与点F.ACDEBF1O2O证明：连接AB∴∠BAD=∠E.∴∠BAD+∠F=180°∴∠E+∠F=180°∴CE//DF.求证：CE//DF.∵四边形ABEC是圆o1的内接四边形。∵四边形ADFB是o2的内接四边形。例2如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC,FQ⊥AC.求证：A,B,P,Q四点共圆证明：连接PQ。在四边形QFPC中，∵FP⊥BCFQ⊥AC.∴∠FQA=∠FPC=90º.∴Q,F,P,C四点共圆。∴∠QFC=∠QPC.又∵CF⊥AB∴∠QFC与∠QFA互余.而∠A与∠QFA也互余∴∠A=∠QFC.∴∠A=∠QPC.∴A,B,P,Q四点共圆AFBPQC练习：1.AD,BE是△ABC的两条高，求证：∠CED=∠ABC.CABEDo2.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G.求证：∠CFG=∠DGF.ABEFGDC你都弄懂了吗？1圆内接四边形具有哪些性质？2判定四点共圆的方法有哪些？3利用圆内接四边形的性质定理与判定定理时要注意什么？作业：P课本30习题2.2第1，2题