与圆有关的极值

2014年中考总复习第二轮制定人：邹长青九年级数学第二轮专题训练（10）课题：与圆有关的最值（取值范围）问题一、【有关知识点及问题】：1、垂线段最短及两点之间连线段最短．①直线外定点与直线上一点的最近距离；②斜边大于直角边；③圆上动点到定点的最大距离与最小距离④圆上动点到定直线的最大距离与最小距离“如图，P为圆上动点，求P到直线AB的距离的最大值及最小值”问题。2、直线上一点与直线外两点距离之和最短（距离之差最大）．①两点之间连线段最短；②两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；“如图，P为直线上动点，求PA+PB最小值及∣PA－PB∣最大值”问题。3、经过圆中定点P的最长的弦（直径）和最短的弦（垂直于过P点的半径的弦）．222()2adR+=(定值)，当d最小时，a最大；当d最大时，a最小。4、“如图，△PAB中，AB为定值，∠P为定值时，PA+PB的最大值及△PAB面积的最大值及PA•PB最大值”问题。[添加辅助圆：△PAB外接圆]。当P为优弧AB的中点时，PA+PB和△PAB面积及PA•PB都达到最大。5、三角函数的增减性：当0oa90o时，Sina与tana随a的增大而增大，cosa随a的增大而减小。6、圆中弦长（L）、直径（2R）、弦所对圆周角a之间的数量关系：L=2R•Sina7、三角形的面积S。12SabSinA=8、一个代数不等式：a2+b2=k（k为定值，a0，b0），①当a最大时，b最小；当a最小时，b最大；②则当a=b时，a+b取得最大值，ab取得最大值，即2222112()2()22ababkababk+?=?=，。9、添加辅助圆解决计算。可能涉及的几种辅助圆：①到定点距离等于定长的点轨迹是圆；②直角三角形的外接圆；(共斜边的两个直角三角形四个顶点共圆)③向定线段两端点张开定角的角的顶点轨迹为圆【例题选讲】1、【2013年武汉中考题】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝FD.连接CF交BD于点G，连BE交AG于点H.若正方形边长为2，则线段长度DH的最小值是_______.2、【2013年武汉元月题】如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求ab+的最大值.[方法提示：①方法提示：①AB为定值，∠ACB为定值，当AC＝BC时，a+b最大；②利用a2+b2=k（k为定值，a0，b0），222()2ababk+?=]3、【2012年武汉中考题】在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．PPCOABP'PABP'PA'ABP'BANOMPCDB'PBAP'2014年中考总复习第二轮制定人：邹长青4、【2013年武汉市四调考题】如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为().【变式：DE的取值范围】[方法提示：DE＝2R•Sin∠A，当R最大时，DE最大。]A．3B．6C．332D．335、【2014年武汉四调题】如图，P为的⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝3，则弦BC的最大值为（）6、如图，A(4，O)，B(0，4)，⊙C的圆心坐标为(-2，0），半径为2，D是⊙C上一个动点，线段DA交y轴于E，设△ABE的面积为S，则S的取值范围是______．7、如图，E是Rt△ABC边CB上一点，E、F分别是A以、AD上的动点，∠ACB＝90o，AC＝BC＝3，2BDCD=，则FC+FE的最小值为.8、在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B是y轴右侧一点，且AB=2，点C上直线y=x+1上一动点，且CB⊥AB于点B，则tan∠ACB＝m，则m的取值范围是.GHFBCADEDOBACDECABOPAOxyCBECBAOxyDCBOPABACEDFBAOxyC【练习】1、如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧»AB向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．则线段CD长度的取值范围为；线段AD长度的最大值为.2、如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为.3、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为.4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是.DOPCBAOABDCP2014年中考总复习第二轮制定人：邹长青AQCPBOABClQPNM5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF的长度的最小值为.6、如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为.7、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点，将△MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成△AEF.则△AEF的周长最小值为．8、如图，A（m，－4），⊙O的半径为2，P为x轴上一动点，PQ切⊙O于Q点，则PQ的最小值为。9、如图，⊙O的半径为1，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC＝2，BD＝3，P为半圆上一点，则△PCD的面积的最小值为。10、如图，⊙O的直径AB＝4，CD是一条动弦，将劣弧CD沿直线CD翻折后与直径AB相切于E点，则弦CD的最大值为。11、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是.12、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为.13、如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线l所夹的锐角度数为，当P、Q在两圆上任意运动时，tan的最大值为。14、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．[方法提示：FE＝2R•Sin∠BAC＝AD•Sin∠BAC，当AD最大时，FE最大。]15、如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为().[方法提示：osin60DER=，当DE最小时，R达到最小值]16、以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是__________．17、如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x=时，PD•CD的值最大，且最大值是为.[方法提示：PD+CD＝2R(定值)，PD•CD≤21()4PDCD+＝R2，可构建x的二次函数求解]OADBCEFCADBQPOABDCPDOABCQOxyAPFEC'D'CDAB2014年中考总复习第二轮制定人：邹长青ODCEABOAxyP18、在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是.19、如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是．[方法提示：C、M、O、P四点共圆，PM最大值为直径(CO)。]20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.21、在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的取值范围．22、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是.23、已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒3cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是；（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是.24、如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．（1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD=；（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．25、如图，A点的坐标为（-2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P()ab，为⊙A上的一个动点，请分别探索：①ba的最大值；②ba的最小值；③ba的最大值；④ba的最大值；【拓展延伸】：①2ba的范围；②2ba的范围；26、在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（mn，）是第一象限内一点，且AB=2，则mn的范围为.27、在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是.BACA1C1EP1PECBADCBADEFGEDBACOEFABDCPBAOxyP